2023年普通高等学校招生全国统一考试专家猜题卷(四)数学试卷 答案(更新中)

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2023年普通高等学校招生全国统一考试专家猜题卷(四)数学试卷答案

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18．在等差数列{a_n}中，已知a₁＞0，前n项和为S_n，且有S₃=S₁₁，则$\frac{a_1}{d}$=$-\frac{13}{2}$，当S_n取得最大值时，n=7．

分析由$\frac{1}{4{n}^{2}}$＞$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，能证明T_n＞$\frac{n}{4n+4}$，由$\frac{1}{4{n}^{2}}＜\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，能证明T_n＜$\frac{1}{2}$．由此能证明$\frac{n}{4n+4}$＜T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答证明：∵$\frac{1}{4{n}^{2}}$＞$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴T_n＞$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$，
又∵$\frac{1}{4{n}^{2}}＜\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n＜$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{n}{4n+4}$＜T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评本题考查关于数列的前n项和的不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．

2023年普通高等学校招生全国统一考试专家猜题卷(四)数学