2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟试卷(五)数学试卷 答案(更新中)

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2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟试卷(五)数学试卷答案

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20．已知a＞0，x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤3}\\{y≥a（x-3）}\end{array}\right.$，若z=2x+y的最小值为1，则a=$\frac{1}{2}$．

分析（1）将点A的坐标带入椭圆的标准方程便可得出b=1，而根据离心率便可得到$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再由a²=b²+c²便可求出a²，这样即可得出椭圆的标准方程；
（2）可根据双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=m$，而将点（4，$\sqrt{3}$）带入双曲线方程便可求出m，从而得出该双曲线的标准方程．

解答解：（1）椭圆经过点A；
∴$\frac{{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（-1）^{2}}{{b}^{2}}=1$；
∴b=1；
离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴a²=2c²；
又a²=b²+c²=1+c²；
∴c²=1，a²=2；
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）根据双曲线的渐近线方程为y=$±\frac{1}{2}x$，可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=m$；
又双曲线经过点$（4，\sqrt{3}）$；
∴$\frac{16}{4}-3=m$；
∴m=1；
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

点评考查椭圆、双曲线的标准方程，椭圆的离心率，以及双曲线的渐近线方程和双曲线标准方程的关系，曲线上的点的坐标和曲线方程的关系．

2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟试卷(五)数学