2023年河北大联考高二年级下学期期中考试（204B·HEB）数学试卷 答案(更新中)

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2023年河北大联考高二年级下学期期中考试（204B·HEB）数学试卷答案

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15．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m，跨度是2.2m，求拱形的抛物线方程．

分析由已知求出|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=cosx+xsinx$，代入投影数量公式得到f（x），求导后再借助于函数零点存在性定理得答案．

解答解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（1，x），
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=cosx+xsinx$，
∴向量$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上投影的数量f（x）=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}=xsinx+cosx$．
∵x∈（-π，π），且f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x），
∴f（x）为偶函数；
由f（x）=xsinx+cosx，得：
f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当x∈（$\frac{π}{2}，π$）时，f′（x）＜0，此时函数为减函数．
∵f（0）=1＞0，且f（π）=-1＜0，
∴函数f（x）=xsinx+cosx在[0，π）上仅有一个零点．
由偶函数的对称性可知，在（-π，0）上f（x）=xsinx+cosx也有一个零点．
∴f（x）=xsinx+cosx是偶函数，且有两个零点．
故选：B．

点评本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上投影的数量的求法，训练了利用导数研究函数的极值，是中档题．

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