四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期第三次联考数学试卷 答案(更新中)

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四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期第三次联考数学试卷答案

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19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，MN是经过椭圆左焦点F的任一弦，AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦．
（Ⅰ）若$2\overrightarrow{MF}=5\overrightarrow{FN}$，求弦MN所在直线的斜率；
（Ⅱ）证明：|AB|是|MN|和椭圆长轴2a的等比中项．

分析（1）由三角函数公式化简可得sin（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{6}$）cosB=0，可得sin（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{6}$）=0，可得C=$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理可得b=3a，由余弦定理可得a和b的值．

解答解：（1）∵$\sqrt{3}sin\frac{C}{2}co{s}^{2}\frac{B}{2}-cos\frac{C}{2}co{s}^{2}\frac{B}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{C}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{C}{2}$=0，
∴2cos²$\frac{B}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{C}{2}$-$\frac{1}{2}$cos$\frac{C}{2}$）-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{C}{2}$-$\frac{1}{2}$cos$\frac{C}{2}$）=0，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{C}{2}$-$\frac{1}{2}$cos$\frac{C}{2}$）（2cos²$\frac{B}{2}$-1）=0，
∴sin（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{6}$）cosB=0，
∵△ABC为非直角三角形，∴cosB≠0，
∴sin（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{6}$）=0，∴$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{6}$=0，解得C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵c=3，C=$\frac{π}{3}$，sinB=3sinA，
∴由正弦定理可得b=3a，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+9a²-3a²=7a²，
∴a²=$\frac{9}{7}$，解得a=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，b=3a=$\frac{9\sqrt{7}}{7}$

点评本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角函数公式，属中档题．

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