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江西省2023年最新中考模拟训练 JX(四)数学试卷答案
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16.在锐角△ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,向量$\overrightarrow{m}$=(2sin(A+C),$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{n}$=(cos2B,2cos$\frac{B}{2}$-1),且向量$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$.
(1)求角B的大小;
(2)如果b=1,求△ABC的面积S△ABC的最大值.
分析(1)求出g(x)的导数,求得切线的斜率和切点,可得切线方程,联立抛物线的方程,运用判别式为0,解方程,可得k;
(2)分别求得f(x),g(x)的值域,由题意可得它们为包含关系,解不等式,即可得到所求范围.
解答解:(1)∵原函数g(x)的定义域为(-1,+∞),
g′(x)=ln(x+1)+1,
则g(0)=0,g′(0)=1,
即有切线的方程为l:y=x,
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x^2}+kx+1}\\{y=x}\end{array}}\right.⇒{x^2}+2({k-1})x+2=0$,
∵l与函数f(x)的图象相切,
∴$△=4{({k-1})^2}-8=0⇒k=1±\sqrt{2}$.
(2)当$x∈[{0,\sqrt{e}-1}]$时,g′(x)=ln(x+1)+1>0,
∴g(x)=(x+1)ln(x+1)在区间$[{0,\sqrt{e}-1}]$上为增函数,
∴$0≤g(x)≤\frac{1}{2}\sqrt{e}$,∵$f(x)=\frac{1}{2}{x^2}+kx+1$的对称轴为:x=-k,
∴为满足题意,必须-1<-k<4,
此时$f{(x)_{min}}=f(-k)=1-\frac{1}{2}{k^2}$,f(x)的值恒小于f(-1)和f(4)中最大的一个.
对于$?t∈[{0,\sqrt{e}-1}]$,总存在x1,x2∈(-1,4),且x1≠x2满足f(xi)=g(t)(i=1,2),
∴$[{0,\frac{1}{2}\sqrt{e}}]⊆({f{{(x)}_{min}},min\left\{{f({-1}),f(4)}\right\}})$
$\begin{array}{l}∴\left\{{\begin{array}{l}{-1<-k<4}\\{f{{(x)}_{min}}<0}\\{\frac{1}{2}\sqrt{e}<f(4)}\\{\frac{1}{2}\sqrt{e}<f({-1})}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{-4<k<1}\\{1-\frac{1}{2}{k^2}<0}\\{\frac{1}{2}\sqrt{e}<4k+9}\\{\frac{1}{2}\sqrt{e}<\frac{3}{2}-k}\end{array}}\right.\end{array}$,
∴$\frac{1}{8}\sqrt{e}-\frac{9}{4}<k<-\sqrt{2}$.
点评本题考查导数的运用:求切线的方程和单调性,同时考查直线和抛物线相切的条件:判别式为0,注意任意和存在问题转化为求函数的值域问题,考查运算能力,属于中档题.
江西省2023年最新中考模拟训练 JX(四)数学