天壹名校联盟·2023年上学期高一期中联考数学试卷 答案(更新中)

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天壹名校联盟·2023年上学期高一期中联考数学试卷答案

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8．已知函数f（x）=-$\frac{1}{2}$ax²+（1+a）x-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）．若存在区间[m，n]⊆[$\frac{1}{2}$，+∞），使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）-2，k（n+2）-2]，求实数k的取值范围．

分析由曲线C方程是x²+y²+4x+3=0，知曲线C是一个圆，圆心坐标是（-2，0），半径是1，关于x轴上下对称，设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），直线OB与x轴的夹角为α，则$\frac{y}{x}$=tanα=$\frac{AB}{BO}$，由此入手能够求出$\frac{y}{x}$的取值范围．

解答解：（x+2）²+y²=1的圆心坐标是（-2，0），半径是1，关于x轴对称，
设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），
直线OB与x轴的夹角为α，则$\frac{y}{x}$=tanα=$\frac{AB}{BO}$，
∵AO=|-2|=2，AB=1，△AOB是直角三角形
∴BO=$\sqrt{3}$，
故$\frac{y}{x}$=tanα=$\frac{AB}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴α=$\frac{π}{6}$，
∵曲线C是一个圆，关于X轴对称，
∴α=-$\frac{π}{6}$时，直线$\frac{y}{x}$与直线OB关于x轴对称，此时切点在第二象限，
∴$\frac{y}{x}$=tanα=tan（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故$\frac{y}{x}$的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故选：C．

点评本题考查直线与圆的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意圆的对称性的合理运用．

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