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百校联盟2023届高三尖子生联考(4月)数学试卷答案
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17.设实数x,y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x+2}\\{x+y-2≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$,则$\frac{y-1}{x+3}$的取值范围是[$-\frac{1}{5},1].
分析(1)因为函数在极值点处导数等于0,所以若f(x)在x=1与x=-$\frac{2}{3}$时,都取得极值,则f′(1)=0,f′(-$\frac{2}{3}$)=0,就可得到a,b的值.
(2)求出极值以及端点函数值,得到最值,推出结果即可.
解答解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b,∵f(x)在x=1与x=-$\frac{2}{3}$时,都取得极值,
∴f′(1)=0,f′(-$\frac{2}{3}$)=0,即3×1+2a+b=0,3×(-$\frac{2}{3}$)2+2a(-$\frac{2}{3}$)+b=0
解得a=-$\frac{1}{2}$,b=-2.
(2)由题意可得:f(x)=x3$-\frac{1}{2}$x2-2x+c.
f(-1)=$\frac{1}{2}+c$,
f(1)=$-\frac{3}{2}$+c,
f(-$\frac{2}{3}$)=$\frac{22}{27}$+c,
f(2)=2+c,
x∈[-1,2],f(x)取值范围:[$-\frac{3}{2}$+c,2+c].
点评本题主要考查了函数的导数与极值,单调区间之间的关系,属于导数的应用.
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