名校大联考2022~2023学年度高三第八次联考数学试卷 答案(更新中)

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名校大联考2022~2023学年度高三第八次联考数学试卷答案

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6．已知函数f（x）=|x-2|，方程a[f（x）]²-f（x）+1=0有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）．

分析（Ⅰ）由条件利用三家恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性求ω的值和函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ） 由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

解答解：（Ⅰ）$f（x）=2\sqrt{3}cosωxsinωx+{sin^2}ωx-{cos^2}ωx$
=$\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx$=$2sin（{2ωx-\frac{π}{6}}）$．
由函数f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$，知$\frac{1}{4}•\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{4}$，
即ω=1，所以$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
所以函数f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]$，k∈Z．
（Ⅱ）因为$0≤x≤\frac{π}{2}$，所以$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$
所以$-\frac{1}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{6}}）≤1$，所以-1≤f（x）≤2，
所以函数f（x）的值域为[-1，2]．

点评本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

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