鞍山市一般高中协作校2022-2023学年度高一四月月考数学试卷 答案(更新中)

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鞍山市一般高中协作校2022-2023学年度高一四月月考数学试卷答案

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15．已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x²+y²=1，动点M到圆的切线长与|MQ|的比值分别为1或2时，分别求出点M的轨迹方程．

分析（1）利用二倍角的余弦函数公式可得cos²α=$\frac{1}{4}$，结合范围α∈（$\frac{π}{2}$，π）．即可得解．
（2）由余弦定理可得：8=ME²+MF²+ME×MF，①，利用基本不等式可得ME×MF≤$\frac{8}{3}$，利用平方和公式可求得：ME+MF≤$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，又EF+ME+MF＞2EF=4$\sqrt{2}$．从而可求△MEF的周长的取值范围．

解答解：（1）∵sin²α+cos2α=sin²α+cos²α-sin²α=cos²α=$\frac{1}{4}$，
∴可得：cosα=±$\frac{1}{2}$，
又∵α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
∴解得cosα=-$\frac{1}{2}$，α=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵在△MEF中，由余弦定理可得：EF²=ME²+MF²-2•ME•MF•cosα，即：8=ME²+MF²+ME×MF，①，
∴由①可得：8≥2ME×MF+ME×MF=3ME×MF，解得ME×MF≤$\frac{8}{3}$，
∴由①可得：（ME+MF）²=8+ME×MF≤8+$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{3}$．解得：ME+MF≤$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴△MEF的周长=EF+ME+MF=2$\sqrt{2}$+ME+MF≤2$\sqrt{2}$+$\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{6}}{3}$．
又，EF+ME+MF＞2EF=4$\sqrt{2}$．
△MEF的周长的取值范围：（4$\sqrt{2}$，$\frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{6}}{3}$]．

点评本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了余弦定理，基本不等式，平方和公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．

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