安徽省中考必刷卷·2023年名校内部卷（四）数学试卷 答案(更新中)

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安徽省中考必刷卷·2023年名校内部卷（四）数学试卷答案

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11．在极坐标系中，已知射线C₁：θ=$\frac{π}{6}$（ρ≥0），动圆C₂：ρ²-2x₀ρcosθ+x₀²-4=0（x₀∈R）．
（1）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）若射线C₁与动圆C₂相交于M与N两个不同点，求x₀的取值范围．

分析由已知求得sinA、sinB、sinC的值，设出BC的长度，再由题意建系求出椭圆的方程，进一步求得椭圆E的离心率．

解答解：由tanA=$\frac{1}{3}$，得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
又B=$\frac{π}{4}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
由正弦定理可得BC：CA：AB=sinA：sinB：sinC=1：$\sqrt{5}$：$2\sqrt{2}$．
不妨取BC=1，CA=$\sqrt{5}$，AB=$2\sqrt{2}$．
以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建系（C在上方），D是C在AB上的射影．
求得AD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴点C（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则a²=2，且$\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，解得：${b}^{2}=\frac{2}{3}$，
∴${c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}=\frac{4}{3}$．
∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，是中档题．

安徽省中考必刷卷·2023年名校内部卷（四）数学