湘潭三模高三3月联考2023数学试卷 答案(更新中)

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湘潭三模高三3月联考2023数学试卷答案

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7．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，则△ABC的形状为（　　）

分析作出正四面体的图形，确定球的球心位置为O，说明OE是内切球的半径，运用勾股定理计算，即可得到球的体积．

解答解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为4，
所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，
在等边三角形BCD中，BE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
AE=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
由OB²=OE²+BE²，即有R²=（$\frac{4\sqrt{6}}{3}$-R）²+$\frac{16}{3}$
解得，R=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．OE=AE-R=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则其内切球的半径是$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以四面体的内切球的表面积为4π•$\frac{6}{9}$=$\frac{8π}{3}$．
故答案为：$\frac{8π}{3}$．

点评本题考查正四面体的内切球半径的求法，考查内切球的表面积的求法，正确求出半径是关键．

湘潭三模高三3月联考2023数学