炎德英才2023届长郡十八校联盟 高三第一次联考(全国卷)数学试卷 答案(更新中)

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炎德英才2023届长郡十八校联盟 高三第一次联考(全国卷)数学试卷答案

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10．如果点P（sinθ+cosθ，sinθcosθ）位于第二象限，那么角θ所在的象限是（　　）

分析（1）由题意可得即$\frac{{x}^{2}+a}{x}$＞0，分类讨论a的值，求得x的范围．
（2）当a＜0时，函数f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$）在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函数，求得f（x）的值域，可得A的值，再根据A⊆B，求得a的范围．

解答解：（1）∵函数f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$），∴x+$\frac{a}{x}$＞0，即$\frac{{x}^{2}+a}{x}$＞0①，
当a=0时，由①求得x＞0，函数的定义域为{x|x＞0}．
当a＜0时，①即$\frac{（x+\sqrt{-a}）（x-\sqrt{-a}）}{x}$＞0，求得-$\sqrt{-a}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{-a}$，故函数的定义域为{x|-$\sqrt{-a}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{-a}$}．
当a＞0时，由①求得x＞0．
综上可得，对于函数f（x）：当a≥0时，定义域为{x|x＞0}；当a＜0时，定义域为{x|-$\sqrt{-a}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{-a}$}．
（2）当a＜0时，由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，可得函数f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$）是增函数，故f（x）∈[lg（$\frac{1}{2}$+2a），lg（2+$\frac{a}{2}$）]，
故A=[lg（$\frac{1}{2}$+2a，lg（2+$\frac{a}{2}$）]．
再根据A⊆B，可得lg（$\frac{1}{2}$+2a）≥-1，且lg（2+$\frac{a}{2}$）]≤1，求得-$\frac{1}{5}$≤a≤16．

点评本题主要考查函数的定义域、单调性，求函数的值域，集合间的包含关系的应用，属于基础题．

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