山东省济南市历下区2023届九年级下学期五校模拟试题数学试卷 答案(更新中)

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8．下列四个命题：①α∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinα+cosα＞1；②α∈（$\frac{π}{2}$，π）时，若sinα+cosα＜0，则|cosα|＞|sinα|；③对任意的向量，必有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|；④若$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，正确的序号为①②③．

分析构造函数F（t）=2^-t-lnt，t∈（0，+∞），根据该函数的单调性证明不等式．

解答证明：将不等式2^-x-2^y＞lnx-1n（-y）化为：
2^-x-lnx＞2^y-ln（-y），———①
构造函数F（t）=2^-t-lnt，t∈（0，+∞），
显然，F（t）为定义域上的减函数，
因为x＞0，y＜0，所以，-y＞0，
故F（x）=2^-x-lnx，F（-y）=2^y-ln（-y），
由①式得，F（x）＞F（-y），
且F（t）为定义域上的减函数，
因此，x＜-y，
即x+y＜0，证毕．

点评本题主要考查了运用函数的单调性证明不等式，涉及指数函数，对数函数的单调性和构造法，体现了函数的思想，属于中档题．

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