江淮名卷·2023年中考模拟信息卷（二）数学试卷 答案(更新中)

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江淮名卷·2023年中考模拟信息卷（二）数学试卷答案

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4．集合A={x|9^x+p•3^x+q=0，x∈R}，B={x|q•9^x+p•3^x+1=0，x∈R}，且实数pq≠0
（1）证明：若x₀∈A，则-x₀∈B；
（2）是否存在实数p，q满足A∩B≠∅且A∩C_RB={1}？若存在，求出p，q的值，不存在说明理由．

分析（1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线L的直角坐标方程；由余弦加法定理和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程．
（2）圆C的圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$，求出圆心C到直线的距离，由此能求出圆C上的点到直线L的最短距离．

解答（本小题满分12分）
解：（1）∵直线L：3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得到直线L的直角坐标方程为：3x+4y+6=0，
∵圆C：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）+6=0$，
∴${ρ}^{2}-4\sqrt{2}ρ（cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}）$+6=0，
∴ρ²-4ρcosθ-4sinθ+6=0，
∴由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得圆C的直角坐标方程为：x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
（2）∵圆C：（x-2）²+（y-2）²=2的圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$，
圆心C（2，2）到直线3x+4y+6=0的距离d=$\frac{|6+8+6|}{\sqrt{9+16}}$=4，
∴圆C上的点到直线L的最短距离为4$-\sqrt{2}$．

点评本题考查直线和C的极坐标方程化为直角坐标方程的求法，考查圆上的点到直线的最短距离的求法，解题时要注意点到直线距离公式和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y的合理运用．

江淮名卷·2023年中考模拟信息卷（二）数学