答案联动网勾股定理（培优卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.的三边分别为，，，则无法判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2.若直角三角形的两直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）
A． B．7 C．或7 D．或
3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ）
A．20 B．26 C．30 D．52
4.如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是（ ）
A．点C到直线的距离为1 B．点D到直线的距离为1
C．点A到直线的距离为 D．点B到直线的距离为
5.如图，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，是一扇高为2m，宽为m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽m；②号木板长2.8m，宽m；③号木板长4m，宽m．可以从这扇门通过的木板是（ ）
A．①号 B．②号 C．③号 D．均不能通过
7.三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形，，都是正方形，若正方形的面积等于100，面积等于，且已知，则的面积等于（ ）
A． B．39 C． D．52
8.在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.如果直角三角形的两条边长为3，4，那么第三边长为___________．
10.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点E与点A重合，折痕为DC，则______．
11.如图，已知圆柱的底面直径为，高为5，一只小虫在圆柱表面爬行，从点爬到A点，则这只小虫爬行的最短路程是___________．
12.长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是__________．
13.如图所示的长方体，，，点F是DE的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面爬到点F，则蚂蚁爬行的最短距离为_____．
14.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，则正方形B的面积为）_______．
15.在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，则的最小值为___________．
16.如图：在中，，，，为射线上一点，且与A、B两点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为_________．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
(1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
18.（8分）如图，在中，，，D为上一点，E为外一点，，且，，求证：．
19.（8分）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，过点C作x轴的垂线，垂足为B，已知点C的坐标为，长为2．
(1)求的长．
(2)请你判断的形状，并说明理由．
20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上的一点，且，B为x轴正半轴上的一点，．
(1)求点的坐标；
(2)直线是线段的垂直平分线，在直线t上是否存在一点M，使以三点为顶点的为等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
21.（10分）仔细阅读下面例题，解答问题．
[例题]已知：，求、的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
∴的值为4，的值为4．
[问题]仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知，求、的值．
(2)在中，，三边长分别为、、，且满足，求斜边长的值，
22.（10分）如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：．
23.（10分）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设运动时间为t秒．
(1)动点P运动2秒后，求的周长．
(2)问t满足什么条件时，为直角三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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勾股定理（培优卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.的三边分别为，，，则无法判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解： ，，为直角三角形，故A不符合题意；
，，
，，为直角三角形，故B不符合题意；
∵，设，则，，
，，，
为直角三角形，故C不符合题意；
∵，设，则，，
，不能组成三角形，故D符合题意；
故选：D．
2.若直角三角形的两直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）
A． B．7 C．或7 D．或
【答案】A
【解析】解：，
，，，，a，b为直角三角形的两直角边长，
所以则该直角三角形的第三边长的平方为：
，
故选：A．
3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ）
A．20 B．26 C．30 D．52
【答案】B
【解析】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：
===26
故选B．
4.如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是（ ）
A．点C到直线的距离为1 B．点D到直线的距离为1
C．点A到直线的距离为 D．点B到直线的距离为
【答案】A
【解析】解：过作于，∵平分，
∴，，∴，则，
又∵，∴，∴，
∴，
∴，，∴，
过点作于，
∵，，∴，则，
∴，则，∴点C到直线的距离为，故A选项结论错误；
过作于，∴，
∴点到的距离为1，故选项B结论正确；，
∴点B到直线的距离为，故选项D结论正确；
过作交的延长线于，∴，
∴点到的距离为，故选项C结论正确．
故选：A．
5.如图，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵，∴,
∴点E所表示的数是，
故选：C．
6.如图，是一扇高为2m，宽为m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽m；②号木板长2.8m，宽m；③号木板长4m，宽m．可以从这扇门通过的木板是（ ）
A．①号 B．②号 C．③号 D．均不能通过
【答案】C
【解析】解：因为，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于米．所以选③号木板．
故选：C．
7.三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形，，都是正方形，若正方形的面积等于100，面积等于，且已知，则的面积等于（ ）
A． B．39 C． D．52
【答案】A
【解析】解：∵四边形和四边形是正方形，正方形的面积等于100，
∴，，
设，则，
∵，∴，解得舍去，∴，
∵面积等于，∴，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴的面积．
故选：A．
8.在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设，
，，
，，，
要使的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小，如图1,中，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，
，，
的最小值，
的最小值为：，
故选：B．
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.如果直角三角形的两条边长为3，4，那么第三边长为___________．
【答案】或 5
【解析】解：当边长为4的边为直角边时，由勾股定理得；
当边长为4的边为斜边时，由勾股定理得；
故答案为：或 5．
10.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点E与点A重合，折痕为DC，则______．
【答案】3
【解析】解：设，
∵两直角边，，∴，
由折叠的性质得，
∴，，，
在中，，，，
，即，
∴，即，
故答案为：3．
11.如图，已知圆柱的底面直径为，高为5，一只小虫在圆柱表面爬行，从点爬到A点，则这只小虫爬行的最短路程是___________．
【答案】
【解析】解：把圆柱侧面展开，点A、C的最短距离为线段的长，如图所示：
∵在中，，，圆柱的底面直径为，
∴，∴，
∴一只小虫在圆柱表面爬行，从点爬到A点，则这只小虫爬行的最短路程为，
故答案为：．
12.长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是__________．
【答案】或，
【解析】四边形是长方形，
，，，
在中，由勾股定理可得：
点在数轴上对应的数是，
点表示的实数是或，
故答案为：或．
13.如图所示的长方体，，，点F是DE的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面爬到点F，则蚂蚁爬行的最短距离为_____．
【答案】
【解析】如图，得到如下展开图：
取的中点M，连接，
则四边形是矩形，
此时，
所以；
取的中点N，连接，
则四边形是矩形，
此时，
所以；
因为，
所以最短距离为．
故答案为：．
14.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，则正方形B的面积为）_______．
【答案】10
【解析】解：如图，
由题意：，
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、20，
∴，∴．
故答案为：10．
15.在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】解：由题可知①分析端点：中是动点，是定点，
②动点轨迹：在直线，
③确定模型：将军饮马模型，作关于动点轨迹直线的对称点，连接，则，如图所示：
，
④确定线段：由③可知，利用两点之间线段最短，当三点共线时，的最小值为，
⑤求定线长：，，
，
在中，，，利用勾股定理得，
故答案为：．
16.如图：在中，，，，为射线上一点，且与A、B两点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为_________．
【答案】或或2
【解析】解：在中，，，，，
是等腰三角形，或或，
当时，，，
；
当，
；
当时，则，
，，，
，
综上所述，等腰三角形的面积为4或或17，
故答案为：4或或17．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
(1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析
【解析】（1）解：如图1所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
18.（8分）如图，在中，，，D为上一点，E为外一点，，且，，求证：．
【答案】见解析
【解析】证明：连接，
∵，，∴，，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴．
19.（8分）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，过点C作x轴的垂线，垂足为B，已知点C的坐标为，长为2．
(1)求的长．
(2)请你判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；(2)是直角三角形．理由见解析
【解析】（1）解：∵点C的坐标为，
∴，，
∴，
∵长为2．
∴；
（2）解：是直角三角形．
理由：
，
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上的一点，且，B为x轴正半轴上的一点，．
(1)求点的坐标；
(2)直线是线段的垂直平分线，在直线t上是否存在一点M，使以三点为顶点的为等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点B的坐标为
(2)存在，点M的坐标为或或或
【解析】（1）解：由题意可得：
设，则，
由勾股定理可得：，
即，解得，负值舍去，
∴
（2）解：存在，
由题意可得：直线为，即的横坐标为，
，即，
设，
当时，可得
解得，即；
当时，
解得，即；
当时，可得
解得，即或，
综上，点M的坐标为或或或．
21.（10分）仔细阅读下面例题，解答问题．
[例题]已知：，求、的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
∴的值为4，的值为4．
[问题]仿照以上方法解答下面问题：
(1)已知，求、的值．
(2)在中，，三边长分别为、、，且满足，求斜边长的值，
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）解：，
，
，，，，；
（2）解：，
，，
，，，，
在中，，
．
22.（10分）如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：．
【答案】(1)证明见详解；(2)；(3)证明见详解；
【解析】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，∴，，
∴，∴（），∴；
（2）解：由（1）得，∴，，
∴，∴，
又∵，，∴，∴；
（3）解：连接，，如图所示：
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，
由（1）得，
由（2）得∠°，∴在中，，
即．
23.（10分）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设运动时间为t秒．
(1)动点P运动2秒后，求的周长．
(2)问t满足什么条件时，为直角三角形？
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)；(2)或
(3)或
【解析】（1）解: 如图，由，，，
由勾股定理得：，
动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，
出发2秒后，，，
，
，
的周长为：；
（2）解：，动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，
点在上运动时为直角三角形，，
当P点在上时， 时，为直角三角形，
，，解得：，
，
，
点P的速度为每秒，，
综上所述: 当或时，为直角三角形；
（3）解：当P点在上，Q点在上时，
则，，
直线把的周长分成相等的两部分，
，；
当P点在上，Q点在上时，
则，，
直线把的周长分成相等的两部分，，，
当t为2秒或6秒时直线把的周长分成相等的两部分．
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第17章 勾股定理（B卷）【人教版八下数学期中期末复习单元测试卷】（原卷版+解析版）