[三省三校一模]东北三省2023年高三第一次联合模拟考试数学试卷 答案(更新中)

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[三省三校一模]东北三省2023年高三第一次联合模拟考试数学试卷答案

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16．已知直线y=x-b与曲线C：y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$-1有唯一交点，则b的取值范围是（　　）

分析（1）设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=λ$（λ≠0），由双曲线过点P（$\sqrt{6}$，2），能求出双曲线的标准方程．
（2）由已知得双曲线的焦点坐标F₁（-5，0），F₂（5，0），双曲线离心率e=$\frac{5}{4}$，由此能求出双曲线的标准方程．

解答解：（1）∵双曲线的渐近线方程为2x±3y=0，
∴设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=λ$（λ≠0），
∵双曲线过点P（$\sqrt{6}$，2），
∴$\frac{6}{9}-\frac{4}{4}$=λ，解得λ=-$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=-\frac{1}{3}$，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{47}$+$\frac{{y}^{2}}{22}$=1的焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0），
∴双曲线的焦点坐标F₁（-5，0），F₂（5，0），
设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
∵双曲线离心率e=$\frac{5}{4}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{\frac{c}{a}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得a=4，c=5，∴b²=25-16=9，
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

点评本题考查双曲线的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、椭圆的简单性质和待定系数法的合理运用．

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