河南省名校联盟2022-2023学年高三下学期2月大联考数学试卷 答案(更新中)

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河南省名校联盟2022-2023学年高三下学期2月大联考数学试卷答案

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14．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C₁上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B，C的直角坐标；
（2）设P是圆C₂：x²+（y+$\sqrt{3}$）²=1上的任意一点，求|PB²|+|PC|²的取值范围．

分析（1）由sin²θ+cos²θ=1，能求出曲线C的普通方程，消去参数t，能求出直线l的普通方程．
（2）曲线C是以C（2，0）为圆心，以r=1为半径的圆，先求出圆心C（2，0）到直线l的距离d，由|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，能求出结果．

解答解：（1）∵曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
∴由sin²θ+cos²θ=1，能求出曲线C的普通方程为：（x-2）²+y²=1．
∵直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．
∴消去参数t，得直线l的普通方程为：2x+y-6=0．
（2）∵曲线C：（x-2）²+y²=1是以C（2，0）为圆心，以r=1为半径的圆，
圆心C（2，0）到直线l：2x+y-6=0的距离d=$\frac{|4-6|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
又直线1与曲线C交于P，Q两点，
∴|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查曲线C，直线l的普通方程的求法，考查直线与圆相交弦弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程与普通方程互化公式、圆的性质的合理运用．

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