2024届吉林高二年级2月联考数学试卷 答案(更新中)

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2024届吉林高二年级2月联考数学试卷答案

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6．设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1a_n-a_n²=1（n∈N^*）
（I）若a₃=$\frac{5}{2}$，求实数a的值；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$（n∈N^*）．若a=1，求证$\sqrt{2}$≤b_n＜$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

分析利用对数不等式求出log₂x的范围，利用换元法化简函数的表达式，利用二次函数的性质求解函数的最值．

解答解：M={x|log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-11log₂x+9≤0}，
可得log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-11log₂x+9≤0，
即log₂²x-11log₂x+9≤0，
解得log₂x∈[$\frac{11-\sqrt{85}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{85}}{2}$].$0＜\frac{11-\sqrt{85}}{2}＜1$，$\frac{11+\sqrt{85}}{2}＞2$
f（x）=（log₂$\frac{x}{2}$）•（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{8}{x}$）=（log₂x-1）（log₂x-3），
函数f（x）的对称轴log₂x=2，
所以当log₂x=2时，f（x）取得最小值：-1；
当log₂x=$\frac{11+\sqrt{85}}{2}$时，f（x）取得最大值：（$\frac{11+\sqrt{85}}{2}-1$）（$\frac{11+\sqrt{85}}{2}-3$）=$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$×$\frac{5+\sqrt{85}}{2}$=$\frac{65+7\sqrt{85}}{2}$．

点评本题考查对数运算法则以及二次函数的简单性质的应用，考查函数的最值，考查计算能力．

2024届吉林高二年级2月联考数学