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2022-2023学年山西省高二2月联考(23-295B)数学试卷答案
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1．已知$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{{e}_{1}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{{e}_{2}}$（$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$是同一平面内的两个不共线向量），则$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$．
分析（1）利用正弦定理可求2b=3c，结合已知可得a=2c，b=$\frac{3c}{2}$，用余弦定理即可求值得解．
（2）如图所示，延长AO交外接圆于D．由于AD是⊙O的直径，可得∠ACD=∠ABD=90°，于是cos$∠CAD=\frac{AC}{AD}$，cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$．可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$2-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$2，．再利用c2=2b-b2，化为$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=（b-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{1}{4}$．由于c2=2b-b2＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=（b-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{1}{4}$．利用二次函数的单调性即可得出．
解答解：（1）∵2sinB=3sinC，∴2b=3c．
又∵b-c=$\frac{1}{4}$a，∴a=2c，b=$\frac{3c}{2}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{4}$．
（2）∵O为△ABC三边中垂线的交点，
∴O为三角形外接圆的圆心．如图所示，延长AO交外接圆于D，连接BD、CD，
∵AD是圆O的直径，
∴∠ACD=∠ABD=90°，cos$∠CAD=\frac{AC}{AD}$，cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$．
∵c2=2b-b2，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AC}$-AB）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$2-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$2
=$\frac{1}{2}$b2-${\frac{1}{2}}^{\;}$c2=$\frac{1}{2}$b2-$\frac{1}{2}$（2b-b2）
=b2-b=（b-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{1}{4}$．
∵c2=2b-b2＞0，
∴0＜b＜2，
设f（b）=（b-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{1}{4}$，又f（0）=0，f（2）=2，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的取值范围是：[-$\frac{1}{4}$，2]．
点评本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．
2022-2023学年山西省高二2月联考(23-295B)数学