江西省2022-2023学年度九年级上学期学生学业质量监测数学试卷 答案(更新中)

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江西省2022-2023学年度九年级上学期学生学业质量监测数学试卷答案

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15．已知直线l的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，圆C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=-2+2sinθ\end{array}\right.（{θ为参数}）$．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；
（2）若椭圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=\sqrt{3}sinφ\end{array}$（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于两点A，B，求|CA|•|CB|的值．

分析（1）可画出图形，取AC的中点F，并连接OF，BF，容易说明AC⊥平面BOF，从而便可得到AC⊥OB，从而直线AC与OB所成的角便为直角；
（2）可取OC的中点G，并连接AG，BG，从而可得到OC⊥AB，连接DF，EF，便得到直角三角形DEF，且DF=EF=$\frac{1}{2}$，从而可以求出斜边DE的长．

解答解：如图，

（1）取AC中点F，连接OF，BF；
∵△ABC和△AOC都是等边三角形；
∴AC⊥OF，AC⊥BF，OF∩BF=F；
∴AC⊥平面BOF，OB?平面BOF；
∴AC⊥OB；
∴直线AC和OB所成的角为90°；
（2）取OC中点G，连接AG，BG，则：
OC⊥平面ABG；
∴OC⊥AB；
连接EF，DF，则EF∥AB，DF∥OC，且$EF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}，DF=\frac{1}{2}$；
∴EF⊥DF；
∴$DE=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评考查等边三角形的中线也是高线，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，以及三角形中位线的性质，直角三角形的边的关系．

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