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衡水名师卷2022-2023高三分科检测提分卷 151靶向提升(老高考)(一)1数学试卷答案
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(1)该实验的自变量是。实验所用小鼠有炎症反应的是(填“实验组”、“对照组”或“实验组和对照组”)小鼠。该实验过程中,通过抽取血液进行相关检测就能反映出相应的实验效果,原因是。
分析(1)求出函数的解析式和定义域,由求导公式和法则求出f′(x),由导数与函数单调性关系求出f(x)的单调区间;
(2)由条件分离出常数b,再构造函数g(x)=$\frac{2}{3}$x3-$\frac{1}{2}$x2-lnx,求出g′(x)后通过化简判断出符号,可得g(x)d的单调性以及值域,即可求出b的取值范围.
解答解:(1)由题意得,f(x)=$\frac{1}{2}$x2-lnx,
则f(x)的定义域是(0,+∞),$f′(x)=x-\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$,
由f′(x)=0得x=±1,
当-1<x<1时,f′(x)<0,当x<-1或x>1时,f′(x)>0,
所以f(x)在(-1,1)上递减,在(-∞,-1),(1,+∞)上递增;
(2)由当x>1时$\frac{1}{2}$x2+lnx+b<$\frac{2}{3}$x3恒成立得,
当x>1时,b<$\frac{2}{3}$x3-$\frac{1}{2}$x2-lnx恒成立,
设g(x)=$\frac{2}{3}$x3-$\frac{1}{2}$x2-lnx,则g′(x)=2${x}^{2}-x-\frac{1}{x}$
=$\frac{2{x}^{3}-{x}^{2}-1}{x}$=$\frac{{x}^{3}-{x}^{2}+{x}^{3}-1}{x}$=$\frac{{x}^{2}(x-1)+(x-1)({x}^{2}+x+1)}{x}$
=$\frac{(x-1)(2{x}^{2}+x+1)}{x}$,
因为x>1,所以x-1>0,
又2x2+x+1=$2{(x+\frac{1}{4})}^{2}+\frac{7}{8}$>0,则$\frac{(x-1)(2{x}^{2}+x+1)}{x}>$0
所以g′(x)>0,即函数g(x)在(1,+∞)上递增,
则g(x)>g(1)=$\frac{1}{6}$,
所以b≤$\frac{1}{6}$,故b的取值范围是(-∞,$\frac{1}{6}$].
点评本题考查求导公式和法则,导数与函数单调性的关系,分离常数法,以及恒成立问题的转化,属于中档题.
衡水名师卷2022-2023高三分科检测提分卷 151靶向提升(老高考)(一)1数学