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2023年普通高等学校招生全国统一考试名校联盟·模拟信息卷(三)3数学试卷答案
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12．定义在D上的函数f（x）若同时满足：①存在M＞0，使得对任意的x1，x2∈D，都有|f（x1）-f（x2）|＜M；②f（x）的图象存在对称中心．则称f（x）为“P-函数”．
已知函数f1（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$和f2（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），则以下结论一定正确的是（ ）
| A． | f1（x）和 f2（x）都是P-函数 | B． | f1（x）是P-函数，f2（x）不是P-函数 | ||
| C． | f1（x）不是P-函数，f2（x）是P-函数 | D． | f1（x）和 f2（x）都不是P-函数 |
分析原式可化为n（n2-1）（n2-4）=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2）=120•${C}_{n+2}^{5}$，命题得证．
解答证明：∵n5-5n3+4n=n（n4-5n2+4）
=n（n2-1）（n2-4）
=n（n-1）（n+1）（n-2）（n+2）
=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2）
=${A}_{n+2}^{5}$
=${A}_{5}^{5}$•${C}_{n+2}^{5}$
=120•${C}_{n+2}^{5}$，
因为n＞2且n∈Z，所以${C}_{n+2}^{5}$为整数，
故n5-5n3+4n能被120整除．
点评本题主要考查了运用排列数和组合公式证明整数问题，涉及多项式的因式分解和运用综合法证明问题，属于中档题．
2023年普通高等学校招生全国统一考试名校联盟·模拟信息卷(三)3数学