华普教育 2023全国名校高考分科综合卷(五)5数学试卷 答案(更新中)

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华普教育 2023全国名校高考分科综合卷(五)5数学试卷答案

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3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点A到右焦点F₂的距离为$\sqrt{3}$，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）探究：当△MF₁N的内切圆的面积最大时，直线l的倾斜角是多少．

分析运用向量的数量积求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$，由题意画出图形，把$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AF}$都用含有$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$的式子表示，运用条件$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=16，展开后化为关于λ的方程，解方程即可得到所求值．

解答解：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos$\frac{2π}{3}$
=8•6•（-$\frac{1}{2}$）=-24，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{DC}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$²+$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AB}$²+（1+$\frac{1}{3λ}$）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{3}$•36+$\frac{1}{λ}$•64+（-24）•（1+$\frac{1}{3λ}$）=16，
解得λ=2，
故答案为：2．

点评本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．

华普教育 2023全国名校高考分科综合卷(五)5数学