2023届衡水金卷先享题调研卷 湖南专版 三数学试卷 答案(更新中)

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2023届衡水金卷先享题调研卷 湖南专版 三数学试卷答案

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14．在各项均为正数的数列{a_n}中，若a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$（n∈N⁺）．
（1）试判断数列{a_n}的单调性，并证明对任意的n∈N⁺，恒有a_n＜1；
（2）求证：对一切n∈N⁺，有a_n＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．

分析利用三角函数线可判断（1）；利用正弦型函数的图象和性质，可判断（2）；根据轴线角的表示方法，可判断（3）；根据两角和的正切公式，可判断（4）．

解答解：在直角坐标系中结合单位圆作出锐角α的正弦线和正切线，

由图可知sinα=MP，α=$\widehat{AP}$，tanα=AT，
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$×MP×1=$\frac{1}{2}$sinα，S_扇形AOP=$\frac{1}{2}$×$\widehat{AP}$×1=$\frac{1}{2}$α，S_△AOT=$\frac{1}{2}$×AT×1=$\frac{1}{2}$tanα，S_△AOP＜S_扇形AOP＜S_△AOT，
∴MP＜$\widehat{AP}$＜AT，即sinα＜α＜tanα，
故（1）正确；
sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵π＜α＜$\frac{3π}{2}$，
∴$\frac{5π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{7π}{4}$，
∴$-\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）＜-1，
故（2）正确；
∵A={x|x=nπ+（-1）ⁿ$\frac{π}{2}$，n∈Z}表示终边落在y轴非负半轴上的角，
B={x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}也表示终边落在y轴非负半轴上的角，
∴A=B；
（4）在斜△ABC中，
tanA+tanB+tanC=tanA+tanB-tan（A+B）=tanA+tanB-$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$=（tanA+tanB）（1-$\frac{1}{1-tanA•tanB}$）=（tanA+tanB）$\frac{-tanA•tanB}{1-tanA•tanB}$=$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$•tanAtanB=tanAtanBtanC．
故（4）正确，
故正确命题的序号为：（1）（2）（3）（4），
故答案为：（1）（2）（3）（4）

点评本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数线，三角函数的图象和性质，轴线角，三角恒等变换等知识点，难度中档．

2023届衡水金卷先享题调研卷 湖南专版 三数学