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贵州天之王教育·2023届全国甲卷高端精品模拟信息卷(二)2数学试卷 答案(更新中)

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试题答案

贵州天之王教育·2023届全国甲卷高端精品模拟信息卷(二)2数学试卷答案

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17.在空间直角坐标系o-xyz中,点A(1,2,2),则|OA|=3,点A到坐标平面yOz的距离是1.

分析(1)化简函数f(x),根据函数图象过点$(\frac{π}{8},0)$,求出a的值,从而求出f(x)的单调减区间;
(2)根据函数y=f(x)的单调区间得出f(x)在$[{0,\;\;\frac{π}{2}}]$上先增后减,从而求出它的最值.

解答解:(1)函数f(x)=asinxcosx-cos2x=$\frac{a}{2}$sin2x-cos2x,且图象过点$(\frac{π}{8},0)$,
∴$\frac{a}{2}$sin$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{4}$=0,解得a=2;
∴f(x)=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin(2x-$\frac{π}{4}$),
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ,k∈Z,
∴$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{8}$+kπ,k∈Z,
∴函数y=f(x)的单调减区间是[$\frac{3π}{8}$+kπ,$\frac{7π}{8}$+kπ],k∈Z;
(2)∵函数y=f(x)的单调减区间是[$\frac{3π}{8}$+kπ,$\frac{7π}{8}$+kπ],k∈Z,
∴f(x)的单调增区间是[-$\frac{π}{8}$+kπ,$\frac{3π}{8}$+kπ],k∈Z;
∴在$[{0,\;\;\frac{π}{2}}]$上有x∈[0,$\frac{3π}{8}$]时,f(x)单调递增,
x∈[$\frac{3π}{8}$,$\frac{π}{2}$]时,f(x)单调递减;
∴f(x)的最大值是f($\frac{3π}{8}$)=$\sqrt{2}$sin(2×$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$,
最小值是f(0)=$\sqrt{2}$sin(0-$\frac{π}{4}$)=-1.

点评本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了转化法与数形结合思想的应用问题,是基础题目.

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