2023全国新高考模拟信息卷XX(三)数学试卷答案(更新中)

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2023全国新高考模拟信息卷XX(三)数学试卷答案

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11．设函数D（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x为有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}\right.$则下列结论正确的是（　　）

分析当n=1时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1=31能被31整除，假设n=k时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1 能被31整除，则则n=k+1时，1+2¹+2²+2³+…+2^3（k+1）-1也能被31整除，综合可得结论．

解答证明：当n=1时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1=1+2¹+2²+2³+2⁴=2⁵-1=31能被31整除，
假设n=k时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1 能被31整除，
不妨令1+2¹+2²+2³+…+2^5k-1=31a，a∈Z，
则n=k+1时，
1+2¹+2²+2³+…+2^3（k+1）-1
=1+2¹+2²+2³+…+2^5k-1+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4
=31a+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4
=31a+2^5k（1+2¹+2²+2³+2⁴）
=31a+31•2^5k也能被31整除，
综上所述n∈N，且n＞0时，1+2¹+2²+2³+…+2^3n-1 能被31整除．

点评本题考查的知识点是数学归纳法，熟练掌握数学归纳的证明步骤是解答的关键．

2023全国新高考模拟信息卷XX(三)数学