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纵千文化2023届高三年级十二月联考(3204C)数学试卷答案
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20．已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，线段MN的中点为E，MN⊥AE，求m的取值范围．
分析去掉绝对值，化简曲线a|x|+b|y|=1，再化简不等式$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2y+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，利用它的几何意义列出满足题意的不等式组，求出b与a的取值范围，即得a+$\sqrt{2}$b的取值范围．
解答解：由曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0），
当x，y≥0时，化为ax+by=1；
当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1；
当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1；
当x≤0，y≤0时，化为-ax-by=1；
画出图象，如图所示，其轨迹为四边形ABCD；
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2y+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，
变形为$\sqrt{{x}^{2}{+（y+1）}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}{+（y-1）}^{2}}$≤2$\sqrt{2}$，
上式表示点M（0，1），N（0，-1）与该图象上的点P的距离之和≤2$\sqrt{2}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}≤2\sqrt{2}}\\{\frac{2}{b}≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得b≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a≥1；
∴a+$\sqrt{2}$b≥1+$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
其取值范围是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
点评本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式应用、不等式的性质，考查了分类讨论思想方法、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．
纵千文化2023届高三年级十二月联考(3204C)数学