2023普通高等学校招生全国统一考试名师原创·调研模拟卷(五)5数学试卷答案(更新中)

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2023普通高等学校招生全国统一考试名师原创·调研模拟卷(五)5数学试卷答案

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20．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一焦点F在抛物线y²=4x的准线上，且点M（1，$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过直线x=-2上任意一点P作椭圆E的切线，切点为Q，试问：$\overrightarrow{FP}\;•\;\overrightarrow{FQ}$是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

分析先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，确定m的取值范围．

解答先画出f（x）的图象，如下图：

令t=f（x），原方程2[f（x）]²+3mf（x）+1=0可化为：
2t²+3mt+1=0，————①
由图可知，方程f（x）=t对于每个属于（0，1）的t都有四个解，
因此，要使原函数有8个不同的零点，则关于t的方程①在（0，1）内有两个相异的实根，
根据一元二次方程实根分布，问题等价为：
$\left\{\begin{array}{l}{△=9m^2-8＞0}\\{-\frac{3m}{4}∈（0，1）}\\{2+3m+1＞0}\end{array}\right.$，解得，m∈（-1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．
答案为：（-1，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．

点评本题主要考查了复合函数零点的个数，一元二次方程的实根分布，以及换元法和数形结合法的解题思想，属中档题．

2023普通高等学校招生全国统一考试名师原创·调研模拟卷(五)5数学