石家庄2022-2023学年高三第一学期第三次调研考试数学试卷答案(更新中)

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石家庄2022-2023学年高三第一学期第三次调研考试数学试卷答案

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14．已知f（x）=e^xlnx+2e^x
（1）求y=f（x）-e^xlnx-2e^x-$\frac{{e}^{x}}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最值；
（2）已知函数h（x）=$\frac{f（x）}{x}$-x-1，数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{n}$，其前n项和为S_n，求证：2×3×4×…×n＞${e}^{n-{S}_{n}}$．

分析设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h₁，h₂，h₃，由正四面体ABCD的棱长为9，求出每个面面积S=$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，高h=3$\sqrt{6}$，由正四面体ABCD的体积得到h₁+h₂+h₃=3$\sqrt{6}$，再由满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，能求出点P到面DCA的距离最大值．

解答解：设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h₁，h₂，h₃，
∵正四面体ABCD的棱长为9，每个面面积为S=$\frac{1}{2}×9×9×sin60°$=$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，
取BC中点E，连结AE．过S作SO⊥面ABC，垂足为O，
则AO=$\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}\sqrt{81-\frac{81}{4}}$=3$\sqrt{3}$，
∴高h=SO=$\sqrt{81-27}$=3$\sqrt{6}$，
∴正四面体ABCD的体积V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}$S（h₁+h₂+h₃），
∴h₁+h₂+h₃=3$\sqrt{6}$，
∵满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，
∴h₁+h₂+h₃=3h₂=3$\sqrt{6}$，∴${h}_{2}=\sqrt{6}$，h₂+h₃=2$\sqrt{6}$，
∴点P到面DCA的距离最大值为2$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评本题考查点到平面的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、正四面体性质等知识点的合理运用．

石家庄2022-2023学年高三第一学期第三次调研考试数学