2023届百万联考高三11月联考(2005C QG)数学试卷答案(更新中)

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2023届百万联考高三11月联考(2005C QG)数学试卷答案

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17．设D是△ABC中BC边上的中点，过D作一条直线分别交直线AB、AC于点M、N，设$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=n$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，且m＞0，n＞0．
（1）分别用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{MD}$与$\overrightarrow{MN}$；
（2）试探究：$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$是否为定值．

分析设公共点P（x₀，y₀），则lnx₀=ax₀²-a①，f′（x₀）=g′（x₀），联立消掉a可得关于x₀的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x₀值，进而可求a的值．

解答解：设公共点P（x₀，y₀），则lnx₀=ax₀²-a①，
f′（x₀）=g′（x₀），即$\frac{1}{{x}_{0}}$=2ax₀，化简得1=2ax₀²②，
联立①②消a得，lnx₀=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$，
令φ（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$，φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{（x-1）（x+1）}{{x}^{3}}$，
由②可得a＞0，
易知φ（x）在（0，1]递减，[1，+∞）上单调递增，又φ（1）=0，
所以φ（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=0有唯一解1，即x₀=1，
则y₀=ln1=0，a=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．

2023届百万联考高三11月联考(2005C QG)数学