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炎德英才大联考 长郡中学2023届高三月考试卷(3三)数学试卷答案
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2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在y轴上，虚轴长为12，离心率为$\frac{5}{4}$；
（2）顶点间的距离为4，渐近线方程为$y=±\frac{1}{2}x$．
分析（1）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，建立平面直角坐标系，由引能证明CD=$\frac{1}{2}$AB．
（2）由已知得E（$\frac{n}{4}$，$\frac{m}{4}$），直线AE：y=-$\frac{3m}{n}$x+m，由此求出F（$\frac{n}{3}$，0），利用两点间距离公式能求出AF的长．
解答证明：（1）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，建立平面直角坐标系，
则C（0，0），A（0，m），B（n，0），∴D（$\frac{n}{2}$，$\frac{m}{2}$），
∴AB2=m2+n2，CD2=$\frac{{n}^{2}}{4}+\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{A{B}^{2}}{4}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．
解：（2）∵E为CD的中点，∴E（$\frac{n}{4}$，$\frac{m}{4}$），
∴直线AE：$\frac{y-m}{x}=\frac{\frac{m}{4}-m}{\frac{n}{4}}$，整理，得y=-$\frac{3m}{n}$x+m，
∵连接AE并延长交BC于F，∴F（$\frac{n}{3}$，0）
∴AF=$\sqrt{（\frac{n}{3}）^{2}+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{9{m}^{2}+{n}^{2}}}{3}$．
点评本题考查直角三角形中斜边上中线等于斜边长一半的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，合理建立平面直角坐标系是解题的关键．
炎德英才大联考 长郡中学2023届高三月考试卷(3三)数学