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19．在等差数列{an}中，$d=-\frac{1}{3}，{a_7}=8$，求an和Sn．
分析（I）由an+1=an2-an+1，n∈N*，an≠1，可得an+1-an=$（{a}_{n}-1）^{2}$＞0，即可证明．
（II）由an+1=an2-an+1，n∈N*，可得an+1-1=an（an-1），取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．利用“裂项求和”可得Sn=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．另一方面：由an+1-1=an（an-1），可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$，因此Tn=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{n+1}-1}$，即可证明．
解答证明：（I）∵an+1=an2-an+1，n∈N*，an≠1，
∴an+1-an=$（{a}_{n}-1）^{2}$＞0，
∴an+1＞an．
∴数列{an}是递增数列．
（II）∵an+1=an2-an+1，n∈N*，
∴an+1-1=an（an-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．
∴Sn=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2}-1}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}-1}-\frac{1}{{a}_{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$
=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．
由an+1-1=an（an-1），
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴Tn=$\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{2}}•…•\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$•$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$•…•$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{3（{a}_{n+1}-1）}$，
∴Sn+3Tn=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$+$\frac{3}{3（{a}_{n+1}-1）}$=3．
∴Sn+3Tn=3．
点评本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”、“累乘求积”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题．
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