2023届全国高考分科综合模拟测试卷 新教材-L(三)数学试题答案

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5．给出下列命题：
①设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在一唯一的有序实数组x，y，z，使$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$；
②若{$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$}为空间的一个基底，则{$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$}也能构成空间的一个基底；
③给定$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，则存在无穷多个向量使得它与$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$一起构成空间的一个基底；
④若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不能构成空间的一个基底，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$中至少有两个向量共线．
其中正确的个数有（　　）

分析（1）由x的取值范围，求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范围，从而求出2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取值范围；讨论a＞0、a＜0时，函数f（x）的最值问题，从而求出a和b的值．
（2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，根据正弦函数的性质即可求出．

解答解：（1）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2，
当a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{2a+2a+b=1}\\{-a+2a+b=-5}\end{array}\right.$解得a=2，b=-7，
当a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{-2a+2a+b=1}\\{a+2a+b=-5}\end{array}\right.$，解得a=-2，b=1，
（2）当a=2，b=-7时，g（x）=-8sin（-7x-$\frac{π}{3}$）=8sin（7x+$\frac{π}{3}$），
其最小值为-8，7x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=-$\frac{5π}{42}$+$\frac{2kπ}{7}$，k∈Z，对应x的集合为{x|x=-$\frac{5π}{42}$+$\frac{2kπ}{7}$，k∈Z}，
当a=-2，b=1时，g（x）=-8sin（x-$\frac{π}{3}$）=-8sin（x-$\frac{π}{3}$），
其最小值为-8，x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=$\frac{5}{6}$π+2kπ，k∈Z，对应x的集合为{x|x=$\frac{5}{6}$π+2kπ，k∈Z}．

点评本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a和b的值．

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