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解:(1)设椭圆的标准方程为千+若=1(a>6b2,椭圆C的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,且椭圆C短轴长为2,b=c.b=1a2=b2+c2解得a2=2,b2=1,“椭圆C的标准方程为号十=1。(6分)(2)由(1)知,c=√a2-6=1,由椭圆定义知|PF,|+|PF2|=2√2①,又∠FPF,=,由余弦定理得PF,P+PF,P-21PF,lPF,cos吾=4②,联立①②解得|PFPF2|=4(2-√3),所以△F1PF2的面积:Sam,=PF,PF,sim吾=2-。12分)
21.解:(1)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F(号0),准线方程为x=-号,因为抛物线上一点S(4,y)(y>0)到焦点F的距离SF=5,由抛物线的定义得4十号=5,所以p=2.所以抛物线E的标准方程是y2=4x.(5分)(2)将x=4代入y2=4x可得y0=4或y%=一4(舍),所以点S坐标为(4,4),设直线l的方程是x=my十n,A(x1,y),B(x2,y2)1y2=4x联立x=my十n得y2-4my-4n=0,因为直线1与E有两个交点,所以△=16m2+16n>0,即m2十n>0.y1十y9=4m由韦达定理得(7分)、y1y2=一4n因为直线AS,BS的斜率之和为2,4(y1+y+8)所以21y2十4(y+2)=0,(10分)y1十y2=4m将代入上式可得:-8n+16m=0,即ny1y2=一4n=2m,所以直线l的方程是x=my十n=m(y十2),它过定点(0,一2).
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