【聊城二模】山东省2022年聊城市高考模拟试题（二）数学部分

1、

如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM＝AN＝1.

（1）证明：M，N，C，D1四点共面；

（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.

2、

（1）略（2）

【解析】（1）证明：连接A1B，

在四边形A1BCD1中，A1D1∥BC且A1D1＝BC

所以四边形A1BCD1是平行四边形

所以A1B∥D1C

在△ABA1中，AM＝AN＝1，AA1＝AB＝3，

所以，

所以MN∥A1B

所以MN∥D1C

所以M，N，C，D1四点共面.

（2）记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1－AMN，D1－ADN，D1－CDN均为三棱锥，

所以V1＝

＝S△AMN·D1A1＋S△ADN·D1D＋S△CDN·D1D

＝××3＋××3＋××3

＝.

从而V2＝－V1＝27－＝，所以，

所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为.

3、

已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，平面BB1C1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB1=CC1=B1C1=2，BC=4，AC=6
（1）求证：BC1⊥平面AA1C1C
（2）点D是B1C1的中点，求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值．

4、

（1）证明：梯形BB1C1C中，BB1=CC1=B1C1=2，BC=4得： ，从而BC1⊥CC1，

因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且AC⊥BC，

所以AC⊥平面BB1C1C，因此BC1⊥AC，

因为AC∩CC1=C，所以BC1⊥平面AA1C1C

（2）解：如图，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，点C为原点建立空间直角坐标系，则A（6，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1（0，1， ），B1（0，3， ），D（0，2， ），A1（3，1， ），

平面BB1D的法向量 =（1，0，0），设平面AB1D的法向量为 =（x，y，z），

则 ，

令z= ，得 （ ， ），

所以所求二面角的余弦值是﹣ =﹣ ．

【解析】（1）证明BC1⊥CC1 ， BC1⊥AC，即可证明BC1⊥平面AA1C1C（2）以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，点C为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角A1﹣BD﹣B1的余弦值．