四川省德阳市2022-2023学年高二下学期教学质量监测考试数学试卷 答案(更新中)

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四川省德阳市2022-2023学年高二下学期教学质量监测考试数学试卷答案

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14．已知函数f（x）=x²-2mx+2m+1．
（I）若函数f（x）在区间（3m-1，2m+3）上是单调的，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值为-7，求实数m的值．

分析（1）根据不等式的解集和对应方程之间的关系求出m，n即可求不等式x²-x-m＞0的解集；
（2）化简不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2nx+m≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$，利用二元一次不等式组表示平面区域，作出对应的平面区域，根据梯形的面积公式进行求解即可．

解答解：（1）∵不等式x²-mx-2n＜0的解集为（-1，3），
∴-1和3是方程x²-mx-2n=0的根，
则-1+3=m，-1×3=-2n，
即m=2，n=$\frac{3}{2}$，
则不等式x²-x-m＞0为x²-x-2＞0，
解得x＞2或x＜-1，
即不等式的解集为{x|x＞2或x＜-1}；
（2）不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2nx+m≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$等价为$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$，
则对应的平面区域为等腰梯形ABCD，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+3y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即B（1，$\frac{4}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即D（2，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{2x+3y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即C（2，$\frac{2}{3}$），
则AB=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，CD=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$，梯形的高为1，
则平面区域的面积S=$\frac{\frac{2}{3}+\frac{7}{3}}{2}×1$=$\frac{3}{2}$．

点评本题主要考查一元二次不等式的求解以及二元一次不等式组表示平面区域，利用一元二次方程与不等式的关系是解决本题的关键．

四川省德阳市2022-2023学年高二下学期教学质量监测考试数学