［衡水大联考］2023年广东省高二年级5月大联考数学试卷 答案(更新中)

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［衡水大联考］2023年广东省高二年级5月大联考数学试卷答案

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14．已知函数y=f（x）是定义域为D，且f（x）同时满足以下条件：
①f（x）在D上是单调函数；
②存在闭区间[a，b]?D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值集合也是[a，b]．则称函数y=f（x）（x∈D）是“合一函数”．
（1）请你写出一个“合一函数”；
（2）若f（x）=$\sqrt{x+1}$+m是“合一函数”，求实数m的取值范围．
（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可）

分析（1）由cos²α+sin²α=1，能求出曲线C₁的普通方程，由正弦加法定理和ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（2）由点P到直线距离公式和三角函数性质，能求出点P到C₂上点的距离的最小值．

解答解：（1）∵在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosa\\y=\sqrt{3}sina\end{array}$（a为参数），
∴曲线C₁的普通方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∵曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=4，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x+y-4=0．
（2）∵P为曲线C₁上的动点，∴P（cosα，$\sqrt{3}sinα$），
∴点P到C₂上点的距离d=$\frac{|cosθ+\sqrt{3}sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|2sin（θ+\frac{π}{6}）-4|$≥$\sqrt{2}$．
∴点P到C₂上点的距离的最小值是$\sqrt{2}$．

点评本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要注意点到直线距离公式的合理运用．

［衡水大联考］2023年广东省高二年级5月大联考数学