[齐齐哈尔三模]黑龙江齐齐哈尔市2023年高三年级5月联考数学试卷 答案(更新中)

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[齐齐哈尔三模]黑龙江齐齐哈尔市2023年高三年级5月联考数学试卷答案

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6．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）•cos（$\frac{π}{3}$-x），g（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{4}$．
（1）化简f（x）；
（2）求函数f（x）的最小正周期；
（3）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

分析（1）求导f′（x）=1+1nx，从而由导数的正负确定函数的单调性；
（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x）=x•1nx-ax²+2ax-1，从而求导F′（x）=1+lnx-2ax+2a，F″（x）=$\frac{1}{x}$-2a，从而确定函数的最小值即可．

解答解：（1）∵f（x）=x•1nx，f′（x）=1+1nx，
故当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调减区间为（0，$\frac{1}{e}$），
单调增区间为（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x•1nx-ax²+2ax-1，
故F′（x）=1+lnx-2ax+2a，F″（x）=$\frac{1}{x}$-2a，
∵x∈[1，2]，a∈[1，2]，
∴F″（x）=$\frac{1}{x}$-2a＜0，
∴F′（x）在[1，2]上是减函数，
又∵F′（1）=1+0=1＞0，F′（2）=1+ln2-4a+2a=1+ln2-2a＜0，
∴F（x）在[1，2]上先增后减，
故F（x）的最小值在x=1或x=2上取得，
而F（1）=1ln1-a+2a-1=a-1≥0，（a∈[1，2]）；
F（2）=2ln2-4a+4a-1=2ln2-1=ln4-1＞0，
故F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）．

点评本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与函数思想的应用．构造函数F（x）=f（x）-g（x）是关键．

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