T2·2023年陕西省初中学业水平考试模拟试卷A数学试卷 答案(更新中)

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T2·2023年陕西省初中学业水平考试模拟试卷A数学试卷答案

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12．有四个关于三角函数的命题：
p₁：?x∈R，sin²$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=1
p₂：?x、y∈R，cos（x-y）=cosx-cosy
p₃：?x∈[0，π]，$\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$=sinx
p₄：?x∈R，tanx=cosx
其中真命题的个数是（　　）

分析（1）令sinα+cosα=t换元，得到sinα•cosα，代入已知等式求得t，则sinα+cosα的值可求；
（2）展开立方和公式，则sin³α+cos³α的值可求．

解答解：（1）令sinα+cosα=t（$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$），
两边平方得，1+2sinαcosα=t²，
∴4sinαcosα=2t²-2，
代入4sinαcosα-5sinα-5cosα=1，得
2t²-2-5t=1，即2t²-5t-3=0．
解得：t=3（舍），或t=-$\frac{1}{2}$，即sinα+cosα=$-\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得，sinαcosα=$\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{4}-1）=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{8}$．
∴sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=（sinα+cosα）[（sinα+cosα）²-3sinαcosα]
=$-\frac{1}{2}$×$[（-\frac{1}{2}）^{2}-3×（-\frac{3}{8}）]$=$-\frac{11}{16}$．

点评本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，体现了方程思想和换元思想，是中档题．

T2·2023年陕西省初中学业水平考试模拟试卷A数学