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河北省唐山市2023届高三普通高等学校招生统一考试第三次模拟演练数学试卷答案
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5．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆的长轴端点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点，且△PA1A2面积的最大值为$\sqrt{2}$，则椭圆C的方程为（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1 |
分析由f′（x）≥k＞0，可得f（x）在（0，+∞）递增，可令g（x）=f（x）-kx，求出导数，判断单调性，再由函数零点存在定理，即可得证．
解答证明：由f′（x）≥k＞0，可得
f（x）在（0，+∞）递增，
可令g（x）=f（x）-kx，
由g′（x）=f′（x）-k≥0，
即有g（x）在（0，+∞）递增，
g（x）＞g（0）=f（0），
则有f（x）-kx＞f（0），
即f（x）＞kx+f（0），
由f（0）＜0，kx＞0，当x→+∞，kx→+∞，
使得kx+f（0）＞0，由f（x）在（0，+∞）递增，
根据函数零点存在定理，
可得f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．
点评本题考查导数的运用：求单调性，考查函数零点存在定理的运用，属于基础题．
河北省唐山市2023届高三普通高等学校招生统一考试第三次模拟演练数学