专题21.2.3 一元二次方程的解法：因式分解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（　　）
A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
【答案】D
【解析】（此题用分解因式法最适当）
移项得，2（4x﹣3）2﹣3（4x﹣3）＝0，
∴（4x﹣3）[2（4x﹣3）﹣3]＝0，
∴4x﹣3＝0或[2（4x﹣3）﹣3]＝0，
∴x1，x2．
故选D．
2．若x2＝﹣x，则（　　）
A．x＝0 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝0
【答案】D
【解析】x2＝﹣x，
x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
∴x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
所以A、B、C错误，
故选D．
3．一元二次方程x（3x+2）＝6（3x+2）的解是（　　）
A．x＝6 B．x
C．x1＝6，x2 D．x1＝﹣6，x2
【答案】C
【解析】∵x（3x+2）＝6（3x+2），
∴（x﹣6）（3x+2）＝0，
∴x＝6或x，
故选C．
4．如果二次三项式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式，则方程x2＋px＋q＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
【答案】A
【解析】∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，
故选A．
5．已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（　　）
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
【答案】A
【解析】∵方程两根分别为x1＝3，x2＝﹣4，
∴x1+x2＝3﹣4＝﹣1，x1x2＝﹣12，
∴方程为x2+x﹣12＝0．
把方程的右边分解因式得：（x+4）（x﹣3）＝0，
故选A．
6．若代数式x（x﹣1）和3（1﹣x）的值互为相反数，则x的值为（　　）
A．1或3 B．﹣1或﹣3 C．1或﹣1 D．3或﹣3
【答案】A
【解析】∵代数式x（x﹣1）和3（1﹣x）的值互为相反数，
∴x（x﹣1）+3（1﹣x）＝0，
即（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x＝3或x＝1．
故选A．
7．已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（　　）
A．10 B．10或8 C．9 D．8
【答案】A
【解析】x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
x﹣4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝4，x2＝2，
因为2+2＝4，
所以这个等腰三角形的腰为4，底边为2，
所以这个三角形的周长为4+4+2＝10．
故选A．
8．方程2x2﹣3x+1＝0根的符号是（　　）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
【答案】C
【解析】∵2x2﹣3x+1＝0，
∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得：x1，x2＝1，
∴方程2x2﹣3x+1＝0的两根都是正数．
故选C．
9．如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
【答案】A
【解析】∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，
故选A．
10．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
【答案】根据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．
【解析】∵函数y＝x3，方程y'＝9x，
∴3x2＝9x，
3x2﹣9x＝0，
3x（x﹣3）＝0，
3x＝0，x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选C．
11．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（　　）
A．x2﹣16＝0与x2＝25
B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0
D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
【答案】C
【解析】A、方程x2﹣16＝0的实数根是4，x2＝25的实数根是5，
∵4：4＝5：5，
∴一元二次方程x2﹣16＝0与x2＝25为相似方程；
B、方程（x﹣6）2＝0的实数根是6，x2+4x+4＝0的实数根是﹣2，
∵6：6＝﹣2：﹣2，
∴一元二次方程（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0为相似方程；
C、方程x2﹣7x＝0的实数根是0或7，x2+x﹣6＝0的实数根是﹣3或2，
∵0：7≠﹣3：2，
∴一元二次方程x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0不是相似方程；
D、方程（x+2）（x+8）＝0的实数根是﹣2或﹣8，x2﹣5x+4＝0的实数根是1或4，
∵﹣2：﹣8＝1：4，
∴一元二次方程（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0为相似方程；
故选C．
12．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即
∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴
∴ ，故③错误；
④整理得：
∴
∵整数解
∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选A．
二、填空题
13．方程x（x+4）＝0的解是 　 　．
【答案】x1＝0，x2＝﹣4
【解析】∵x（x+4）＝0，
∴x+4＝0或x＝0，
即x1＝0，x2＝﹣4，
故答案为：x1＝0，x2＝﹣4；
14．方程x2+x﹣2＝0的解是　 　．
【答案】x1＝﹣2，x2＝1
【解析】（x+2）（x﹣1）＝0，
x+2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝1．
故答案为x1＝﹣2，x2＝1．
15．用因式分解法解一元二次方程（4x﹣1）（x+3）＝0时，可将原方程转化为两个一元一次方程，其中一个方程是4x﹣1＝0，则另一个方程是　 　．
【答案】x+3＝0
【解析】∵（4x﹣1）（x+3）＝0，
∴4x﹣1＝0或x+3＝0．
即一个方程是4x﹣1＝0，则另一个方程是x+3＝0．
故答案为x+3＝0．
16．若，则x的值是 　 ．
【答案】或
【解析】∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，，
故答案为：或．
17．若菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+24＝0的两实根，则菱形的面积为　 　．
【答案】12
【解析】x2﹣10x+24＝0，
解得x＝6或x＝4．
所以菱形的面积为：（6×4）÷2＝12．
故答案为：12．
18．若a≠0，则关于x的方程a（x+1）＝a的解是　x＝0　；方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是　 　．
【答案】x＝0，x＝0或x＝1
【解析】∵a≠0，
∴方程两边都除以a，得：x+1＝1，
解得x＝0；
∵（x﹣1）（x+1）＝x﹣1，
∴（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（x+1﹣1）＝0，即x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x＝0或x＝1，
故答案为：x＝0，x＝0或x＝1．
三、解答题
19．解方程：
（1）（x﹣2）（x﹣5）＝2；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【解析】（1）x2﹣7x+12＝0，
（x﹣4）（x﹣3）＝0，
x﹣4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝4，x2＝3；
（2）2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或2x﹣6﹣x﹣3＝0，
所以x1＝3，x2＝9．
20．用适当的方法解方程：
(1)．
(2)．
【解析】 (1)解∶
整理得：
∴
∴或
解得：；
(2)解：
∴
∴或
解得：
21．根据要求解方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法）；
（2）x2+4x﹣12＝0（配方法）；
（3）（x+4）2＝7（x+4）（适当的方法）．
【解析】（1）∵△＝b2﹣4ac＝25＞0，
∴x，
解得：x1＝﹣4，x2＝1；
（2）x2+4x﹣12＝0，
x2+4x＝12，
（x+2）2＝16，
则x+2＝±4，
解得：x1＝﹣6，x2＝2；
（3）（x+4）2＝7（x+4）
（x+4）[（x+4）﹣7]＝0，
则x+4＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣4．
22．小明同学在解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0．
解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步
﹣5x﹣2＝0…第二步
﹣5x＝2…第三步
x第四步
小明的解法从第几步开始岀现错误？请你写出正确的求解过程．
【解析】小明的解法从第一步开始出现错误；
3x2﹣8x（x﹣2）＝0，
x[3x﹣8（x﹣2）]＝0，
x（﹣5x+16）＝0，
解得：x1＝0，．
23．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当时，求方程的实数根．
【解析】 (1)原式化成一元二次方程的一般形式：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
(2)当时，
原方程变为，
即，
解得，．
24．在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣ab，根据这个规则，解决下列问题：
（1）求（x+2）△5＝0中x的值；
（2）证明：（x+m）△5＝0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
【解析】（1）由题意可得：（x+2）△5＝（x+2）2﹣5（x+2）＝0，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3．
故x的值为﹣2或3；
（2）证明：由题意可得：（x+m）△5＝（x+m）2﹣5（x+m）＝0，
整理得：x2+（2m﹣5）x+m2﹣5m＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣5）2﹣4（m2﹣5m）＝25＞0．
∴无论m为何值，方程x2+（2m﹣5）x+m2﹣5m＝0总有两个不相等的实数根，即无论m为何值，x总有两个不同的值．
25．阅读理解下列材料，然后回答问题：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1；
（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝﹣1，x4＝﹣2．
请观察上述方程的求解过程，试解方程x2﹣2|x﹣1|﹣1＝0．
【解析】当x﹣1≥0，即x≥1时，方程化为x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1；
当x﹣1＜0，即x＜1时，方程化为x2+2x﹣3＝0，即（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣3，
综上，方程的解为x＝1或﹣3．
()
()

专题21.2.3 一元二次方程的解法：因式分解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．解方程2（4x﹣3）2＝3（4x﹣3）最适当的方法是（　　）
A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
2．若x2＝﹣x，则（　　）
A．x＝0 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝0
3．一元二次方程x（3x+2）＝6（3x+2）的解是（　　）
A．x＝6 B．x
C．x1＝6，x2 D．x1＝﹣6，x2
4．如果二次三项式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式，则方程x2＋px＋q＝0的两个根为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
5．已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（　　）
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
6．若代数式x（x﹣1）和3（1﹣x）的值互为相反数，则x的值为（　　）
A．1或3 B．﹣1或﹣3 C．1或﹣1 D．3或﹣3
7．已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（　　）
A．10 B．10或8 C．9 D．8
8．方程2x2﹣3x+1＝0根的符号是（　　）
A．两根一正一负 B．两根都是负数
C．两根都是正数 D．无法确定
9．如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1
C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
10．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
11．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（　　）
A．x2﹣16＝0与x2＝25
B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0
D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
12．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．方程x（x+4）＝0的解是 　 　．
14．方程x2+x﹣2＝0的解是　 　．
15．用因式分解法解一元二次方程（4x﹣1）（x+3）＝0时，可将原方程转化为两个一元一次方程，其中一个方程是4x﹣1＝0，则另一个方程是　 　．
16．若，则x的值是 　 ．
17．若菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+24＝0的两实根，则菱形的面积为　 　．
18．若a≠0，则关于x的方程a（x+1）＝a的解是　x＝0　；方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是　 　．
三、解答题
19．解方程：
（1）（x﹣2）（x﹣5）＝2；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
20．用适当的方法解方程：
(1)．
(2)．
21．根据要求解方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法）；
（2）x2+4x﹣12＝0（配方法）；
（3）（x+4）2＝7（x+4）（适当的方法）．
22．小明同学在解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0．
解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步
﹣5x﹣2＝0…第二步
﹣5x＝2…第三步
x第四步
小明的解法从第几步开始岀现错误？请你写出正确的求解过程．
23．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当时，求方程的实数根．
24．在实数范围内定义新运算“△”，其规则为：a△b＝a2﹣ab，根据这个规则，解决下列问题：
（1）求（x+2）△5＝0中x的值；
（2）证明：（x+m）△5＝0中，无论m为何值，x总有两个不同的值．
25．阅读理解下列材料，然后回答问题：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1；
（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝﹣1，x4＝﹣2．
请观察上述方程的求解过程，试解方程x2﹣2|x﹣1|﹣1＝0．
()
()