2022-2023学年安徽省亳州市联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3. 已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥内切球的体积为( )
A. B. C. D.
4. 定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5. 如图，已知平面向量的模均为，且，则( )
A.
B.
C.
D.
6. “健康中国”规划纲要提出，健康是促进人类全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志，也是全国各族人民的共同愿望为普及健康知识，某公益组织为社区居民组织了一场健康知识公益讲座，为了解讲座效果，随机抽取了位居民在讲座后进行健康知识问卷百分制，这十位居民的得分情况如表所示：
答题居民序号
得分
则下列说法正确的是( )
A. 该位居民的答卷得分的极差为
B. 该位居民的答卷得分的中位数为
C. 该位居民的答卷得分的分位数为
D. 该位居民的答卷得分的平均数为
7. 设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，且为等边三角形，的面积为，则( )
A. B. C. D.
8. 设函数，则( )
A. 且在应调递增
B. 且在单调递减
C. 且在单调递增
D. 且在单调递减
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，则( )
A. B.
C. D.
10. 已知事件，满足，，则( )
A. 事件，相互独立 B.
C. 事件，互斥 D.
11. 已知函数满足，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 为偶函数
D. 曲线在处的切线斜率为
12. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，为偶函数，函数的图象关于对称，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数为偶函数，则 ______ ．
14. 已知等差数列的前项和为，，，则的公差等于______ ．
15. 对于正整数时，，若，则 ______ ．
16. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，圆：与的一条渐近线的一个交点为点在第一象限，且，则的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列中，，，是公比为的等比数列．
求；
，求证：．
18. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，．
求的值；
若，求边上的高．
19. 本小题分
国务院印发新时期促进集成电路产业和软件产业高质量发展的若干政策某科技公司响应国家号召，加大了芯片研究投入力度从年起，芯片的经济收入逐月攀升，该公司在年的第一月份至第六月份的月经济收入单位：百万元关于月份的数据如下表所示：
时间月份
月收入百万元
请你根据提供数据，判断与均为常数哪一个适宜作为该公司月经济收人关于月份的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由
根据的结果及表中的数据，求出关于的回归方程；
从这个月中抽取个，记月收入超过百万的个数为，求的分布列和数学期望参考数据：
其中设，
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
20. 本小题分
如图，已知五面体中，四边形为矩形，为直角梯形，，，．
求证：平面平面；
若为中点，求二面角的余弦值．
21. 本小题分
已知椭圆：短轴长为，短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形．
求的标准方程；
直线：与椭圆相交于、两点，且，点满足，求直线的方程．
22. 本小题分
已知函数．
若，，求函数斜率为的切线方程；
若，讨论在的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
求出集合，利用交集定义、不等式性质能求出结果．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：满足，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，，为切点，设，
即，
由条件可知，，
在中，，即，解得：，
所以圆锥内切球的体积．
故选：．
根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解．
本题主要考查圆锥的内切球问题，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：行列式，等价于，即，
解得，
所以实数的取值范围是
故选：．
根据行列式的计算法则，求解关于的不等式即可．
本题考查了行列式与不等式的解法应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：已知平面向量的模均为，且，
则．
故选：．
由平面向量的减法运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量的减法运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：该位居民的答卷得分从小到大排序为：，，，，，，，，，，
对于，该位居民的答卷得分的极差为，故A错误；
对于，该位居民的答卷得分的中位数为，故B正确；
对于，该位居民的答卷得分的分位数为，故C错误；
对于，该位居民的答卷得分的平均数为，故D错误．
故选：．
先把该位居民的答卷得分从小到大排序，再结合极差、中位数、百分位数和平均数的定义，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了极差、中位数、百分位数和平均数的计算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为，
设，且为等边三角形，
所以三角形的边长为，则，到的距离为：，
的面积为，
可得，解得．
故选：．
利用已知条件求解三角形的边长，结合抛物线的定义，通过三角形的面积求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由于，得的最小正周期不是；
，则的周期为，
当时，，
由于，得，故
当时，，
由于，得，故，
综上所述，可得的值域为，
当时，，
由于，得，
根据余弦函数性质可知在上单调递增．故C选项正确．
故选：．
首先证明函数的周期为，然后分与两种情况分别讨论函数的值域，判断函数的单调区间即可．
本题考查函数的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，A正确；
因为，即，
所以，B错误；
，C正确；
当，时，显然错误．
故选：．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，事件，满足，，
则有，变形可得，D正确；
又由，则，
则有，B正确；
又由，则、相互独立，A正确，
同时，事件、可能同时发生，C错误．
故选：．
根据题意，由条件概率公式变形可得的值，可得D正确，进而由，求出的值，可得B正确，由相互独立事件的判断方法可得A正确，C错误，综合可得答案．
本题考查条件概率的性质和应用，涉及相互独立事件的判定，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
因为，
所以，又，所以，
所以，
由，可得是函数的最大值，
所以，，
解得，，
又，所以取，得，故A错误；
所以，
，故B错误；
，显然为偶函数，故C正确；
，，即曲线在处的切线斜率为，故D正确．
故选：．
利用三角恒等变换化简，由已知可求得和的值，从而判断；可得的解析式，计算即可判断；计算即可判断；，利用导数的几何意义即可判断．
本题考查正弦型函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：为偶函数，
，即，
两边同时求导可得：，即；
又函数的图象关于对称，
函数的图象关于对称，即为奇函数，即，为奇函数；
两边同时求导可得：，化为，即为偶函数，
对于，由为奇函数，得，故，
由得，A正确；
对于，，即，故，B错误；
对于，由知，，结合可得，C正确；
对于，由，
得，即，
由知，，D正确．
故选：．
利用函数奇偶性的性质及其导数的性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及导数的计算，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为函数为偶函数，
所以，
即，
即，
即，
可得．
故答案为：．
由偶函数的性质即可求解的值．
本题主要考查偶函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为，
由于，即，
则有，
又由，则．
故答案为：．
根据题意，设等差数列的公差为，由，变形可得，又由，分析可得答案．
本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，
若，则，可得，
即．
故答案为：．
把已知等式变形，结合二项展开式的通项求解．
本题考查二项式定理的应用，考查划归与转化思想，是基础题．
16.【答案】或
【解析】解：双曲线：的左、右焦点分别为，，
圆：与的一条渐近线的一个交点为点在第一象限，
可得，解得，
，
可得，
可得，解得或．
故答案为：或．
求解的坐标，利用，求解、、的关系，然后求解离心率．
本题考查双曲线的简单性质的应用，圆与双曲线的综合应用，是中档题．
17.【答案】解：由题意，可知，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
，，
则，，，，，
各项相乘，
可得
，．
证明：由可得，，
则，
，
故不等式对任意恒成立．
【解析】先根据题意计算出，即可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，进一步计算出数列的通项公式，再运用累乘法计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出的表达式，再运用裂项相消法计算出前项和的表达式，最后根据不等式的性质即可证明结论成立．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，累乘法，裂项相消法，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：由余弦定理得：，
，
，，
由正弦定理：，
，
，，，
，
；
设边上的高为，
由余弦定理得：，
即，
，，
，，
，
，
边上的高为．
【解析】由余弦定理得，由正弦定理可求得，再由同角三角函数的基本关系即可求得；
由余弦定理求出，，再由等面积法即可求得．
本题考查利用正、余弦定理和面积公式解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：根据数据判断知适宜作为该公司月经济收人关于月份的回归方程类型；
因为关于的回归方程为，
对等式两边同时取对数，得，
设，
此时，
又，，
所以，
则，
所以，
即；
易知在前个月的收入中，月收入超过百万的有个，
则的所有取值为，，，，
此时，，，，
所以的分布列为：
则．
【解析】由题意，根据所给数据进行判断即可；
结合中所得模型，对等式两边同时取对数，设，根据表中数据求出和的值，代入公式中即可求解；
根据表中信息得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望以及线性回归方程，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】证明：因为四边形为矩形，所以，因为，且，
所以平面，因为平面，所以平面平面；
解：因为，为中点，所以，
因为平面平面，所以平面，
如图建立空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，，，
，设平面的一个法向量为，
平面的法向量为，由，可得，
取，得，，即，
由，可得，
取，得，，即，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以，
故二面角的余弦值为．
【解析】先证明平面，继而转化即可；利用空间直角坐标系，找到关键点的坐标即可，进而求二面角．
本题考查二面角，考查线面，面面位置关系，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可得，解得，，
所以椭圆的方程为：；
设，，
联立，整理可得：，
，即，
且，，，
设的中点，则，
由题意可得，
即，
，
所以，即，
而，
可得，解得，
由可得，解得舍或，
可得，即，
所以直线的方程为或．
【解析】由短轴长可知的值，再由等边三角形可知的值，进而求出椭圆的方程；
设，的坐标，可得的中点的坐标，由题意可得，求出直线的斜率，由题意可得，的关系，求出的表达式，由题意可得，的关系，求出，的值，即求出直线的方程．
本题考查椭圆的方程的方法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
当，时，函数，
可得，
不妨设切点为，
此时，
因为切线斜率为，
所以，
解得，
所以，
此时切点坐标为，
则曲线在点处的切线方程为，
即；
若，
即，
此时，函数定义域为
可得，
令，
解得，
当，即时，，
此时函数在定义域上单调递增，
则；
当，即时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
当，即时，
可得，
所以当时，；
当，即时，
可得，
所以当时，；
当，即时，，
此时函数在定义域上单调递减，
则，
综上，当时，函数的最大值为；
当时，函数的最大值为．
【解析】由题意，将，代入函数解析式中，对函数进行求导，设切点为，切线斜率为，得到切线坐标，再代入切线方程中即可求解；
若，即，，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
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