山东省泰安市泰山区2023年中考数学一模试题
一、单选题
1．（2023·泰山模拟）下面几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，看到的图形是一个梯形，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断即可.
2．（2023·泰山模拟）在实数：，，0，中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
∴，即，
∴最小的数是，
故答案为：B．
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据此判断即可.
3．（2022·娄底）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿.5000亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：5000亿，根据科学记数法要求500000000000的5后面有11个0，从而用科学记数法表示为.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
4．（2023·泰山模拟）下列运算，结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方分别计算，再判断即可.
5．（2023·泰山模拟）如图，三角形板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若，则的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：由长方形的对边平行可得：
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】由平行线的性质可得，由平角的定义可得，据此即可求解.
6．（2023·泰山模拟）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：
甲 4 8 9 9 10
乙 4 5 6 10 10
关于以上数据，说法正确的是（　　）
A．甲、乙的中位数相同 B．甲、乙的众数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差
【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解∶A、甲排序后最中间的数是9，故中位数是9；乙排序后最中间的数是6，故中位数是6；所以甲、乙的中位数不相同，故此选项不符合题意；
B、甲数据9出现了2次，次数最多，故众数为9；乙数据10出现了2次，次数最多，故众数为10；所以甲、乙的众数不相同，故此选项不符合题意；
C、∵，，∴甲的平均数大于乙的平均数，故此选项不符合题意；
D、∵，，∴甲的方差小于乙的方差，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的定义分别求值，再判断即可.
7．（2023·泰山模拟）如图，的半径为6，半径于点D，，则的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理可得，利用三角形内角和求出∠OBD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得，利用CD=OC-OD即可求解.
8．（2022·威海）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP=BP，AQ=BQ，
点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，
直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；
D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据垂线的作图方法及合理性逐项判断即可。
9．（2023·泰山模拟）不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解∶∵，
∴，
不等式组有4个整数解，
不等式组的整数解是3，4，5，6，
．
故答案为：D．
【分析】先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数确定m的范围即可.
10．（2023·泰山模拟）如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径，作，分别交于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：连接OB，是的切线，
设
．
故答案为：A．
【分析】连接OB，由切线的性质可得
设 可求出 ，根据阴影部分面积=Rt△AOB的面积-（）即可求解.
11．（2023·泰山模拟）如图，已知，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠，使点C与点E恰好重合，下列结论：①，②点E到的距离为3，③，④四边形是菱形．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】①，，
，
设，则有，
由折叠得：
在中
，
，
解得：，
．
故此项不符合题意．
②如图，过作，，
由①得：平分，
，
平分，
，
点E到的距离为．
故此项不符合题意．
③由①得：
．
故此项符合题意．
④如图，连接交于，
由①②得，，，
垂直平分，
，
在和中
，
，
，
，
四边形是菱形．
故此项符合题意．
故答案为：B．
【分析】①由等腰三角形的性质可得，设，则，由折叠可得，在中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即得DM=3；②过作，，由角平分线的性质可得EF=EN=DE=4，即可判断；③由①得=5，即可判断；④连接交于，根据ASA证明△CQM≌△CQG，可得，根据菱形的判定即证，即可判断④.
12．（2023·泰山模拟）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象开口向下，得，
由图象与y轴正半轴相交，则，
由图象可知抛物线的对称轴为直线 则，
∴，
∴，
故①不符合题意；
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
故②不符合题意；
∵
∴，
由由图象可知，当时，
即
∴
∴
故③符合题意；
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y值最大，
∴
∴，
故④符合题意；
∴正确的有③④，共2个，
故答案为：B．
【分析】由图象开口向下，得，由图象与y轴正半轴相交，则，由图象可知抛物线的对称轴为直线x=，可得b＞0，则，据此判断①；由图象可知抛物线与x轴有两个交点，可得，即可判断②；由由图象可知，当时，y=，结合对称轴即可判断③；由抛物线的开口向下，可知当时，y=为最大值，从而得出，即可判断④.
二、填空题
13．（2018·湛江模拟）分解因式： 　 　.
【答案】
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：3x2-12y2=3（x2-4y2）
=3（x+2y）（x-2y）．
故答案为：3（x+2y）（x-2y）．
【分析】由题意可知：每一项有公因式3，提公因式后再用平方差公式分解即可求解。
14．（2023·泰山模拟）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的2个红球和3个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】
红 红 白 白 白
红 红红 红红 红白 红白 红白
红 红红 红红 红白 红白 红白
白 白红 白红 白白 白白 白白
白 白红 白红 白白 白白 白白
白 白红 白红 白白 白白 白白
由表格可知，共有25种结果，两次都摸出白球的结果有9种，
所以，两次都摸出白球概率是．
故答案为：．
【分析】利用列表法列举出共有25种结果，其中两次都摸出白球的结果有9种，然后利用概率公式计算即可.
15．（2023·泰山模拟）我国古代《四元玉鉴》中记载二果问价问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果x个，买苦果y个，根据题意所列方程组是　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设买甜果x个，买苦果y个，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据“ 九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个 ”列出二元一次方程组即可.
三、解答题
16．（2023·泰山模拟）数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点，，在同一直线上，则该建筑物的高度约为多少？（精确到．参考数据：，，，）
【答案】解：由题意可知：，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
答：该建筑物的高度约为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由 可求出BD的长，从而得出 ，根据 即可求解.
四、填空题
17．（2023·泰山模拟）根据图中数字的规律，则的值是　 　．
【答案】395
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意，可得：
∵，；
，；
，；
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】观察表格可知图中第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数=第二行左边的数×第一行数+第一行的数，据此规律先求出x，再求出y值，继而得解.
18．（2023·泰山模拟）如图，菱形的对角线相交于点O，，，点P为边上一点，且P不与B、C重合．过P作于E，于F，连接，则的最小值等于　 　．
【答案】2.4
【知识点】垂线段最短；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，，
∴，
在中，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵当时，有最小值，
此时
，
∴的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【分析】连接，由菱形的性质可得，利用勾股定理求出BC=5，易证四边形是矩形，可得，当时，有最小值，利用面积法求出OP的长，继而得解.
五、解答题
19．（2023·泰山模拟）
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：，并把它们的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：原式
；
当时，原式．
（2）解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：，
把不等式组的解集在数轴上表示为：
【知识点】利用分式运算化简求值；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
20．（2023·泰山模拟）某校为了响应市政府号召，在“创文明城市”活动周中，设置了“：文明礼仪，：环境保护，：卫生保洁，：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图：条形统计图和扇形统计图．
（1）求本次调查的学生人数和的值；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小明同学随机选择两天，那么其中有一天是星期五的概率是多少
【答案】（1）解：（人），，则，
所以，本次调查的学生人数为100人，的值为35；
（2）解：组的人数为（人）
组的人数为（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：画树状图如图：
共有20个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有8个，
∴其中有一天是星期五的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用C类人数除以其百分比，即得调查总人数；由m%=A类人数÷调查总人数×100%计算即可；
（2）由调查总人数×B类百分比=B组人数，D组人数=调查总人数-A、B、C组人数分别计算，再补图即可；
（3） 利用树状图列举出共有20个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有8个， 然后利用概率公式计算即可.
21．（2023·泰山模拟）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、B两点，点C在第三象限，轴．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）以为边作菱形，求D点坐标．
【答案】（1）解：∵点在直线上，
∴，
即点A的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式是：；
（2）解：由题意得：，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
∴，
∵点，
∴，
∵菱形是以为边，且轴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【分析】（1） 将点代入求出a=2，可得A（-1，2），将点A坐标代入中求出k值即可；
（2）联立与 为方程组并解之，可得B（1，-2）， 利用两点间的距离公式求出AB=2， 由菱形是以为边，且轴， 可得，继而得解.
22．（2023·泰山模拟）如图，四边形是的内接四边形，连接延长至点E．
（1）若，求证：平分；
（2）若，的半径为6，求．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即AD平分．
（2）解：如图，作直径，连接，则
∵圆的半径为6，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆的内接四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，即得，根据角平分线的定义即得结论；
（2）作直径，连接，则， 由勾股定理求出CF的长，由同弧所对的圆周角相等可得 ， 即得 ，继而得解.
23．（2023·泰山模拟）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元；
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于5000元．那么有哪几种购买方案
【答案】（1）解：设足球的单价为x元，篮球的单价为元，
由题意可得：，
解得，，
经检验是所列方程的根，且符合题意，
此时．
答：篮球的单价为90元，足球的单价为60元；
（2）解：设采购篮球m个，则采购足球为个，由题意得，
∴，
解得：，
又∵篮球多于40个，
∴，
∵m为整数，
∴m的值可为41，42，43，44，45，46．
∴共有六种购买方案，
方案一：采购篮球41个，采购足球19个；
方案二：采购篮球42个，采购足球18个；
方案三：采购篮球43个，采购足球17个；
方案四：采购篮球44个，采购足球16个；
方案五：采购篮球45个，采购足球15个；
方案六：采购篮球46个，采购足球14个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为元，根据：用6000元购买篮球的数量是用2000元购买足球数量的2倍，列出方程并解之即可；
（2）设采购篮球m个，则采购足球为个， 根据“购买要篮球多于40个，且总费用低于5000元”列出不等式组并求出其整数解即可.
24．（2023·泰山模拟）次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BD，当时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．
【答案】（1）解：将A（-1， 0），B（4， 0）代入中，
得： ，
解得： ．
∴二次函数的表达式为．
（2）解：连接BD，如图所示，
∵，
∴AM=3．
又∵，
∴．
设直线BC的表达式为，
将点C（0，2），B（4，0）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：．
将x=2代入和，
得D（2，3），N（2，1），
∴．
∴．
（3）解：∵，
∴．
设P（2t-1，m），
则，．
∵PB=PC，
∴，
∴，
∴．
∵PC⊥PB，
∴，
将代入整理得：，
解得：t=1或t=2．
将t=1或t=2分别代入中，
∴P（1，－1）或（3，3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）连接BD ， 由 求出AM=3，OM=2，利用待定系数法求直线BC的解析式为，将x=2分别代入和中求出y值，即得D（2，3），N（2，1），即得DN的长，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）由题意得BM=5-2t，即得， 设P（2t-1，m）， 由勾股定理可得，，由题意可知PB=PC，据此建立方程可求出，再利用勾股定理列出方程并解之即可.
25．（2023·泰山模拟）问题：如图，在中，，，，的平分线分别与直线交于点E，F．
（1）求的长．
（2）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．当点E与点C重合时，求的长．
（3）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【答案】（1）解：如图1，∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵平分，
∴
∴
∴．
同理：，
∴；
（2）解：如图，点E与点C重合，
方法同（1）可得：，
∴是菱形，
，
点F与点D重合，
．
（3）解：①如图：
可得，
．
②如图：
可得，，
又，
．
③如图5：
由上，同理可以得到，
又，
．
综上：的值可以是，，．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及角平分线的定义可得，利用等角对等边可得，同理，利用即可求解；
（2）当点E与点C重合， 可证是菱形，可得；
（3）由当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，可分三种情况，分别画出图形并求解即可.
山东省泰安市泰山区2023年中考数学一模试题
一、单选题
1．（2023·泰山模拟）下面几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023·泰山模拟）在实数：，，0，中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
3．（2022·娄底）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿.5000亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·泰山模拟）下列运算，结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·泰山模拟）如图，三角形板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若，则的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（2023·泰山模拟）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：
甲 4 8 9 9 10
乙 4 5 6 10 10
关于以上数据，说法正确的是（　　）
A．甲、乙的中位数相同 B．甲、乙的众数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差
7．（2023·泰山模拟）如图，的半径为6，半径于点D，，则的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．
8．（2022·威海）过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023·泰山模拟）不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·泰山模拟）如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径，作，分别交于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2023·泰山模拟）如图，已知，，，，的平分线交于点E，且．将沿折叠，使点C与点E恰好重合，下列结论：①，②点E到的距离为3，③，④四边形是菱形．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2023·泰山模拟）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．（2018·湛江模拟）分解因式： 　 　.
14．（2023·泰山模拟）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的2个红球和3个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是　 　．
15．（2023·泰山模拟）我国古代《四元玉鉴》中记载二果问价问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果x个，买苦果y个，根据题意所列方程组是　 　．
三、解答题
16．（2023·泰山模拟）数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点，，在同一直线上，则该建筑物的高度约为多少？（精确到．参考数据：，，，）
四、填空题
17．（2023·泰山模拟）根据图中数字的规律，则的值是　 　．
18．（2023·泰山模拟）如图，菱形的对角线相交于点O，，，点P为边上一点，且P不与B、C重合．过P作于E，于F，连接，则的最小值等于　 　．
五、解答题
19．（2023·泰山模拟）
（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：，并把它们的解集在数轴上表示出来．
20．（2023·泰山模拟）某校为了响应市政府号召，在“创文明城市”活动周中，设置了“：文明礼仪，：环境保护，：卫生保洁，：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图：条形统计图和扇形统计图．
（1）求本次调查的学生人数和的值；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小明同学随机选择两天，那么其中有一天是星期五的概率是多少
21．（2023·泰山模拟）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于、B两点，点C在第三象限，轴．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）以为边作菱形，求D点坐标．
22．（2023·泰山模拟）如图，四边形是的内接四边形，连接延长至点E．
（1）若，求证：平分；
（2）若，的半径为6，求．
23．（2023·泰山模拟）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元；
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于5000元．那么有哪几种购买方案
24．（2023·泰山模拟）次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BD，当时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．
25．（2023·泰山模拟）问题：如图，在中，，，，的平分线分别与直线交于点E，F．
（1）求的长．
（2）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．当点E与点C重合时，求的长．
（3）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，看到的图形是一个梯形，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
∴，即，
∴最小的数是，
故答案为：B．
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：5000亿，根据科学记数法要求500000000000的5后面有11个0，从而用科学记数法表示为.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方分别计算，再判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：由长方形的对边平行可得：
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】由平行线的性质可得，由平角的定义可得，据此即可求解.
6．【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解∶A、甲排序后最中间的数是9，故中位数是9；乙排序后最中间的数是6，故中位数是6；所以甲、乙的中位数不相同，故此选项不符合题意；
B、甲数据9出现了2次，次数最多，故众数为9；乙数据10出现了2次，次数最多，故众数为10；所以甲、乙的众数不相同，故此选项不符合题意；
C、∵，，∴甲的平均数大于乙的平均数，故此选项不符合题意；
D、∵，，∴甲的方差小于乙的方差，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的定义分别求值，再判断即可.
7．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理可得，利用三角形内角和求出∠OBD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得，利用CD=OC-OD即可求解.
8．【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP=BP，AQ=BQ，
点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，
直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；
D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
AP= AQ，BP =BQ，
点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据垂线的作图方法及合理性逐项判断即可。
9．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解∶∵，
∴，
不等式组有4个整数解，
不等式组的整数解是3，4，5，6，
．
故答案为：D．
【分析】先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数确定m的范围即可.
10．【答案】A
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：连接OB，是的切线，
设
．
故答案为：A．
【分析】连接OB，由切线的性质可得
设 可求出 ，根据阴影部分面积=Rt△AOB的面积-（）即可求解.
11．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】①，，
，
设，则有，
由折叠得：
在中
，
，
解得：，
．
故此项不符合题意．
②如图，过作，，
由①得：平分，
，
平分，
，
点E到的距离为．
故此项不符合题意．
③由①得：
．
故此项符合题意．
④如图，连接交于，
由①②得，，，
垂直平分，
，
在和中
，
，
，
，
四边形是菱形．
故此项符合题意．
故答案为：B．
【分析】①由等腰三角形的性质可得，设，则，由折叠可得，在中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即得DM=3；②过作，，由角平分线的性质可得EF=EN=DE=4，即可判断；③由①得=5，即可判断；④连接交于，根据ASA证明△CQM≌△CQG，可得，根据菱形的判定即证，即可判断④.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象开口向下，得，
由图象与y轴正半轴相交，则，
由图象可知抛物线的对称轴为直线 则，
∴，
∴，
故①不符合题意；
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
故②不符合题意；
∵
∴，
由由图象可知，当时，
即
∴
∴
故③符合题意；
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y值最大，
∴
∴，
故④符合题意；
∴正确的有③④，共2个，
故答案为：B．
【分析】由图象开口向下，得，由图象与y轴正半轴相交，则，由图象可知抛物线的对称轴为直线x=，可得b＞0，则，据此判断①；由图象可知抛物线与x轴有两个交点，可得，即可判断②；由由图象可知，当时，y=，结合对称轴即可判断③；由抛物线的开口向下，可知当时，y=为最大值，从而得出，即可判断④.
13．【答案】
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：3x2-12y2=3（x2-4y2）
=3（x+2y）（x-2y）．
故答案为：3（x+2y）（x-2y）．
【分析】由题意可知：每一项有公因式3，提公因式后再用平方差公式分解即可求解。
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】
红 红 白 白 白
红 红红 红红 红白 红白 红白
红 红红 红红 红白 红白 红白
白 白红 白红 白白 白白 白白
白 白红 白红 白白 白白 白白
白 白红 白红 白白 白白 白白
由表格可知，共有25种结果，两次都摸出白球的结果有9种，
所以，两次都摸出白球概率是．
故答案为：．
【分析】利用列表法列举出共有25种结果，其中两次都摸出白球的结果有9种，然后利用概率公式计算即可.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设买甜果x个，买苦果y个，根据题意得：
．
故答案为：
【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据“ 九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个 ”列出二元一次方程组即可.
16．【答案】解：由题意可知：，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
答：该建筑物的高度约为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由 可求出BD的长，从而得出 ，根据 即可求解.
17．【答案】395
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】根据题意，可得：
∵，；
，；
，；
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】观察表格可知图中第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数=第二行左边的数×第一行数+第一行的数，据此规律先求出x，再求出y值，继而得解.
18．【答案】2.4
【知识点】垂线段最短；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，，
∴，
在中，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵当时，有最小值，
此时
，
∴的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【分析】连接，由菱形的性质可得，利用勾股定理求出BC=5，易证四边形是矩形，可得，当时，有最小值，利用面积法求出OP的长，继而得解.
19．【答案】（1）解：原式
；
当时，原式．
（2）解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：，
把不等式组的解集在数轴上表示为：
【知识点】利用分式运算化简求值；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
20．【答案】（1）解：（人），，则，
所以，本次调查的学生人数为100人，的值为35；
（2）解：组的人数为（人）
组的人数为（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：画树状图如图：
共有20个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有8个，
∴其中有一天是星期五的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用C类人数除以其百分比，即得调查总人数；由m%=A类人数÷调查总人数×100%计算即可；
（2）由调查总人数×B类百分比=B组人数，D组人数=调查总人数-A、B、C组人数分别计算，再补图即可；
（3） 利用树状图列举出共有20个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有8个， 然后利用概率公式计算即可.
21．【答案】（1）解：∵点在直线上，
∴，
即点A的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式是：；
（2）解：由题意得：，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
∴，
∵点，
∴，
∵菱形是以为边，且轴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【分析】（1） 将点代入求出a=2，可得A（-1，2），将点A坐标代入中求出k值即可；
（2）联立与 为方程组并解之，可得B（1，-2）， 利用两点间的距离公式求出AB=2， 由菱形是以为边，且轴， 可得，继而得解.
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即AD平分．
（2）解：如图，作直径，连接，则
∵圆的半径为6，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆的内接四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，即得，根据角平分线的定义即得结论；
（2）作直径，连接，则， 由勾股定理求出CF的长，由同弧所对的圆周角相等可得 ， 即得 ，继而得解.
23．【答案】（1）解：设足球的单价为x元，篮球的单价为元，
由题意可得：，
解得，，
经检验是所列方程的根，且符合题意，
此时．
答：篮球的单价为90元，足球的单价为60元；
（2）解：设采购篮球m个，则采购足球为个，由题意得，
∴，
解得：，
又∵篮球多于40个，
∴，
∵m为整数，
∴m的值可为41，42，43，44，45，46．
∴共有六种购买方案，
方案一：采购篮球41个，采购足球19个；
方案二：采购篮球42个，采购足球18个；
方案三：采购篮球43个，采购足球17个；
方案四：采购篮球44个，采购足球16个；
方案五：采购篮球45个，采购足球15个；
方案六：采购篮球46个，采购足球14个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为元，根据：用6000元购买篮球的数量是用2000元购买足球数量的2倍，列出方程并解之即可；
（2）设采购篮球m个，则采购足球为个， 根据“购买要篮球多于40个，且总费用低于5000元”列出不等式组并求出其整数解即可.
24．【答案】（1）解：将A（-1， 0），B（4， 0）代入中，
得： ，
解得： ．
∴二次函数的表达式为．
（2）解：连接BD，如图所示，
∵，
∴AM=3．
又∵，
∴．
设直线BC的表达式为，
将点C（0，2），B（4，0）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：．
将x=2代入和，
得D（2，3），N（2，1），
∴．
∴．
（3）解：∵，
∴．
设P（2t-1，m），
则，．
∵PB=PC，
∴，
∴，
∴．
∵PC⊥PB，
∴，
将代入整理得：，
解得：t=1或t=2．
将t=1或t=2分别代入中，
∴P（1，－1）或（3，3）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）连接BD ， 由 求出AM=3，OM=2，利用待定系数法求直线BC的解析式为，将x=2分别代入和中求出y值，即得D（2，3），N（2，1），即得DN的长，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）由题意得BM=5-2t，即得， 设P（2t-1，m）， 由勾股定理可得，，由题意可知PB=PC，据此建立方程可求出，再利用勾股定理列出方程并解之即可.
25．【答案】（1）解：如图1，∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵平分，
∴
∴
∴．
同理：，
∴；
（2）解：如图，点E与点C重合，
方法同（1）可得：，
∴是菱形，
，
点F与点D重合，
．
（3）解：①如图：
可得，
．
②如图：
可得，，
又，
．
③如图5：
由上，同理可以得到，
又，
．
综上：的值可以是，，．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及角平分线的定义可得，利用等角对等边可得，同理，利用即可求解；
（2）当点E与点C重合， 可证是菱形，可得；
（3）由当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，可分三种情况，分别画出图形并求解即可.