山东省济南市章丘区2023年中考一模数学试题
一、单选题
1．（2023·新都模拟）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·章丘模拟）国家卫健委通报：截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101000万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将数字101000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·章丘模拟）如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·章丘模拟）化简的结果是
A． B． C． D．
5．（2023·章丘模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023·章丘模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023·章丘模拟）函数与在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022·济南模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点A逆时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·章丘模拟）如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（　　）
A． B．
C．4 D．
10．（2023·章丘模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020·绿园模拟）因式分解: 　 　.
12．（2019·济宁模拟）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是　 　．
13．（2022·历下模拟）如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是　 　．
14．（2023·章丘模拟）小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为　 　千米．
15．（2023·章丘模拟）如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是　 　．
16．（2023·章丘模拟）如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为　 　．
三、解答题
17．（2023·章丘模拟）计算：
18．（2023·章丘模拟）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．（2022九上·榆林月考）如图，在菱形ABCD中，M，N分别是AB和BC上的点，且AM＝CN，求证：∠DMN＝∠DNM．
20．（2023·章丘模拟）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：，，，，，
21．（2022·济南模拟）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．
（1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元；
（2）若购买A、B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？
22．（2022·历城模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．
（1）求证：∠DCE＝∠ABC；
（2）若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．
23．（2023·章丘模拟）我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学．某校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题．
频数分布统计表
类别 频数 频率
A 60 h
B m 0.4
C 90 0.3
D 30 0.1
（1）接受问卷调查的学生共有　 　人；　 　，　 　
（2）补全条形统计图：
（3）为改进教学，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名学生参与网络座谈会，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
24．（2023·章丘模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．
（1）求，的值．
（2）当的面积为3时，求点的坐标．
（3）设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．
25．（2023·章丘模拟）在中，，，点D在BC上，且满足，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且，，连接AF．
（1）如图1，当点E落在BC上时，直接写出线段BE与线段AF的数量关系；
（2）如图2，在线段DB旋转过程中，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由；
（3）如图3，连接DF，若，求线段DF长度的最小值．
26．（2023·章丘模拟）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点D，的面积为12，求点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是，
故答案为：C.
【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此解答.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】：∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
故答案为：A．
【分析】先求出，利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可。
4．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式＝===，
故答案为：D．
【分析】利用分式的加法计算方法求解即可。
5．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，此项正确，符合题意；
B、，此项错误，不符题意；
C、，此项错误，不符合题意；
D、，此项错误，不符题意；
故答案为：A．
【分析】利用单项式乘单项式、完全平方公式、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：若，则，一次函数单调递减且过点（0，-5），所以一次函数的图象单调递减，过二、三、四象限；反比例函数图象在一、三象限，此时没有选项的图像符合要求．
若，则，一次函数单调递增且过点（0，-5），所以一次函数的图象单调递增，过一、三、四象限；反比例函数在二、四象限，此时选项C符合要求．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，
∴C′(-2，3)，
故答案为：B．
【分析】利用点坐标旋转的性质求解即可。
9．【答案】B
【知识点】垂线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过点P作于T，过点C作于R，
在中，，，，
，
，
，
，
由作图可知，平分，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点P作于T，过点C作于R，先结合，求出，再结合，可得，从而得解。
10．【答案】C
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：令，即，
由题意，，即，
又方程的根为，
解得，
故函数是
∴函数图象开口向下，顶点为，
．
与y轴交点为，由对称性，该函数图象也经过，
由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
且当时，函数的最小值为，最大值为，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据“ 雅系点 ”的定义求出函数解析式，再画出函数图象，最后利用二次函数的性质求解即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x+4）（x-4）．
故答案为（x+4）（x-4）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
12．【答案】140°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】该正九边形内角和 ，
则每个内角的度数 ．
故答案为：140°．
【分析】利用多边形内角和公式（n-2）·180°，可求出正九边形内角和.由于正多边形每个内角都相等，利用内角和除以边数即可.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵游戏板的面积为3×3=9，其中黑色区域为3，
∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是，
故答案是： ．
【分析】利用几何概率公式求解即可。
14．【答案】20
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】由图象可知，点和在直线上，
∴设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴，
∵点，点在直线上，
∴直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴当时，，
∴小泽距甲地的距离为：20（千米）．
故答案为：20．
【分析】先求出直线CD的解析式，直线AB的解析式，再求解即可。
15．【答案】/
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接，设l交于点D，
由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，
，
故答案为：．
【分析】连接，设l交于点D，先利用勾股定理求出，再利用割补法和扇形面积公式求解即可。
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，
∴
∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，
∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵∠EDM＝∠ADB，
∴△EDM∽△BDA，
∴，
设DE＝x，则AE＝EM＝8﹣x，
∴
解得，x＝5，即DE＝5，
同理，△DNF∽△DCB，
∴，
设DF＝y，则CF＝NF＝6﹣y，
∴，
解得，y＝，即DF＝，
∴，
故答案为：．
【分析】先证出△EDM∽△BDA，可得，设DE＝x，则AE＝EM＝8﹣x，将数据代入求出x＝5，即DE＝5，再设DF＝y，则CF＝NF＝6﹣y，将其代入求出y＝，即DF＝，最后利用勾股定理求出EF的长即可。
17．【答案】解：
．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、绝对值、0指数幂和负指数幂的性质化简，再计算即可。
18．【答案】解：
由①得：，
解得：
由②得：，
解得：，
所以，不等式组的解集为：，
所以，它的所有整数解为4，5，6，7．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠A=∠C
在△DAM和△DCN中，AD=CD，∠A=∠C，AM=CN，
∴△DAM≌△DCN（ SAS），
∴DM=DN，
∴∠DMN=∠DNM．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据菱形的性质得出AD=CD，∠A=∠C，再利用SAS证出△DAM≌△DCN，得出DM=DN，再根据等腰三角形的性质即可证出∠DMN=∠DNM．
20．【答案】（1）解：如图，过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．
∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米．
（2）解：在Rt△ABF中，
∵cos∠BAF＝，
∴AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴，
∴AD＝3.25米，
∴BC＝DF＝AD AF＝3.25 2.4＝0.85≈0.9
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过B作BF⊥AD于F，根据sin∠BAF＝，求出BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8即可；
（2）先求出AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，AD＝3.25米， 再利用线段的和差求出BC＝DF＝AD AF＝3.25 2.4＝0.85≈0.9即可。
21．【答案】（1）解：设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元
由题意得
去分母得，
移项合并得，
系数化为1得，
经检验，是原分式方程的解
∴元
∴A、B两种学习用品的单价分别为20元和30元．
（2）解：设最多购买B型学习用品件，则购买A型学习用品件
由题意得，
解得
∴最多购买B型学习用品80件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A种学习用品的单价为x元，则B种学习用品的单价为元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设最多购买B型学习用品x件，则购买A型学习用品件，根据题意列出不等式求解即可。
22．【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵CE与⊙O相切
∴OC⊥CE
∴∠OCE＝90°，即∠OCB+∠ECB＝90°
∵AB为直径
∴，即∠ECB+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠OCB
∵OC＝OB
∴∠ABC＝∠OCB
∴∠DCE＝∠ABC．
（2）解：∵OA＝3
∴AB＝2OA＝6
∵∠AOD＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A
∴△AOD∽△ACB
∴即
解得AD＝9
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角为直角可得，即∠ECB+∠DCE＝90°，再根据切线的性质可得∠OCE＝90°，即∠OCB+∠ECB＝90° ，从而得到∠DCE＝∠OCB，再结合∠ABC＝∠OCB，即可得到∠DCE＝∠ABC；
（2）先证明△AOD∽△ACB，可得，再将数据代入可得，求出AD的长，最后利用线段的和差可得。
23．【答案】（1）300；120；0.2
（2）解：∵m=120，
∴ 补画条形图如图，
（3）解：画树状图如下，
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被抽中的情况有2种，
∴甲、乙两名同学同时被抽中的概率为：．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：∵C组频数为90，频率为0.3，
∴接受问卷调查的学生共有为90÷0.3=300人，
∴，
故答案为：300； 120；0.2；
【分析】（1）利用“C”的频数除以对应的频率可得总数，再求出m、n的值即可；
（2）根据m的值作出条形统计图即可；
（3）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
24．【答案】（1）解：直线过点，
，
，
直线过点，
，
，
过点，
；
（2）解：，，，，
，
，、、分别表示、、三点的横坐标，
，
解得，经检验是原方程的解，
；
（3）解：如图1，
，，
，
当是边，点在轴正半轴上，
作于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（舍去），
，
如图2，
当点在轴的负半轴上时，
由上知：，
，
，
当是对角线时，
当是对角线时，点在轴负半轴上时，
可得：，，
，
，
，
如图4，
，，
，
，（舍去），
当时，，
，
综上所述：或，．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入求出b的值，再求出点A的坐标，将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）先求出，再利用三角形的面积公式可得，求出t的值，即可得到点P的坐标；
（3）分类讨论，再分别画出图象并求解即可。
25．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴AC=BC，
∵BD=BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，
∴BD=DE=BC，BE=CB，
∴CE=CB，
∵∠CFE=90°，∠ECF=60°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE=CB，
∴AF=AC-CF=CB，
∴BE=2AF；
故答案为：BE=2AF；
（2）解：结论仍然成立，；
证明：理由如下：
在中，，，
∴，，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在CA上截取CG，使，连接GF，
∴，
∵由（2）知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，D，G分别是BC，AC三等分点，，
∴，，，
∴，即点F在以G为圆心，以1为半径的圆上运动，
∴当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段DF长度的最小值为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质求出BD=DE=BC，BE=CB，再求出CF=CE=CB，利用线段的和差求出AF=AC-CF=CB，即可得到BE=2AF；
（2）先证出，可得，再化简可得；
（3）在CA上截取CG，使，连接GF，当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为，再证出，可得，求出，最后求出线段DF长度的最小值为即可。
26．【答案】（1）解：将，代入，
，
解得，
；
（2）解：令，则，
解得或，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
；
（3）解：如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时，
∵
∴
∴点Q和点C关于对称轴对称
∵，
∴抛物线的对称轴为
∵
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设与x轴交于点E
∵
∴
∴设
∵，
∴，
∴在中，，即
∴解得
∴
∴
∴设直线的解析式为
将，代入得，
∴解得
∴
∴联立直线和抛物线得，
∴解得
∴将代入得，
∴点Q的坐标为．
综上所述，点Q的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线BD的解析式，然后联立方程组求出点P的坐标即可；
（3）分类讨论：①当点Q在第一象限抛物线上时，②当点Q在第四象限的抛物线上时，再分别画出图象并求解即可。
山东省济南市章丘区2023年中考一模数学试题
一、单选题
1．（2023·新都模拟）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是，
故答案为：C.
【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此解答.
2．（2023·章丘模拟）国家卫健委通报：截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101000万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将数字101000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．（2023·章丘模拟）如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线b上．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】：∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
故答案为：A．
【分析】先求出，利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可。
4．（2023·章丘模拟）化简的结果是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式＝===，
故答案为：D．
【分析】利用分式的加法计算方法求解即可。
5．（2023·章丘模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
6．（2023·章丘模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，此项正确，符合题意；
B、，此项错误，不符题意；
C、，此项错误，不符合题意；
D、，此项错误，不符题意；
故答案为：A．
【分析】利用单项式乘单项式、完全平方公式、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可。
7．（2023·章丘模拟）函数与在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：若，则，一次函数单调递减且过点（0，-5），所以一次函数的图象单调递减，过二、三、四象限；反比例函数图象在一、三象限，此时没有选项的图像符合要求．
若，则，一次函数单调递增且过点（0，-5），所以一次函数的图象单调递增，过一、三、四象限；反比例函数在二、四象限，此时选项C符合要求．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
8．（2022·济南模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点A逆时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，
∴C′(-2，3)，
故答案为：B．
【分析】利用点坐标旋转的性质求解即可。
9．（2023·章丘模拟）如图，在中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线上任意一点，过点P作，交于点M，连接，若，，则长度的最小值为（　　）
A． B．
C．4 D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过点P作于T，过点C作于R，
在中，，，，
，
，
，
，
由作图可知，平分，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点P作于T，过点C作于R，先结合，求出，再结合，可得，从而得解。
10．（2023·章丘模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：令，即，
由题意，，即，
又方程的根为，
解得，
故函数是
∴函数图象开口向下，顶点为，
．
与y轴交点为，由对称性，该函数图象也经过，
由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
且当时，函数的最小值为，最大值为，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据“ 雅系点 ”的定义求出函数解析式，再画出函数图象，最后利用二次函数的性质求解即可。
二、填空题
11．（2020·绿园模拟）因式分解: 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x+4）（x-4）．
故答案为（x+4）（x-4）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
12．（2019·济宁模拟）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是　 　．
【答案】140°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】该正九边形内角和 ，
则每个内角的度数 ．
故答案为：140°．
【分析】利用多边形内角和公式（n-2）·180°，可求出正九边形内角和.由于正多边形每个内角都相等，利用内角和除以边数即可.
13．（2022·历下模拟）如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵游戏板的面积为3×3=9，其中黑色区域为3，
∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是，
故答案是： ．
【分析】利用几何概率公式求解即可。
14．（2023·章丘模拟）小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为　 　千米．
【答案】20
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】由图象可知，点和在直线上，
∴设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
当时，，
∴，
∵点，点在直线上，
∴直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：；
∴当时，，
∴小泽距甲地的距离为：20（千米）．
故答案为：20．
【分析】先求出直线CD的解析式，直线AB的解析式，再求解即可。
15．（2023·章丘模拟）如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】/
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接，设l交于点D，
由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，
，
故答案为：．
【分析】连接，设l交于点D，先利用勾股定理求出，再利用割补法和扇形面积公式求解即可。
16．（2023·章丘模拟）如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，
∴
∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，
∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵∠EDM＝∠ADB，
∴△EDM∽△BDA，
∴，
设DE＝x，则AE＝EM＝8﹣x，
∴
解得，x＝5，即DE＝5，
同理，△DNF∽△DCB，
∴，
设DF＝y，则CF＝NF＝6﹣y，
∴，
解得，y＝，即DF＝，
∴，
故答案为：．
【分析】先证出△EDM∽△BDA，可得，设DE＝x，则AE＝EM＝8﹣x，将数据代入求出x＝5，即DE＝5，再设DF＝y，则CF＝NF＝6﹣y，将其代入求出y＝，即DF＝，最后利用勾股定理求出EF的长即可。
三、解答题
17．（2023·章丘模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、绝对值、0指数幂和负指数幂的性质化简，再计算即可。
18．（2023·章丘模拟）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】解：
由①得：，
解得：
由②得：，
解得：，
所以，不等式组的解集为：，
所以，它的所有整数解为4，5，6，7．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
19．（2022九上·榆林月考）如图，在菱形ABCD中，M，N分别是AB和BC上的点，且AM＝CN，求证：∠DMN＝∠DNM．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠A=∠C
在△DAM和△DCN中，AD=CD，∠A=∠C，AM=CN，
∴△DAM≌△DCN（ SAS），
∴DM=DN，
∴∠DMN=∠DNM．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据菱形的性质得出AD=CD，∠A=∠C，再利用SAS证出△DAM≌△DCN，得出DM=DN，再根据等腰三角形的性质即可证出∠DMN=∠DNM．
20．（2023·章丘模拟）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：，，，，，
【答案】（1）解：如图，过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．
∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米．
（2）解：在Rt△ABF中，
∵cos∠BAF＝，
∴AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴，
∴AD＝3.25米，
∴BC＝DF＝AD AF＝3.25 2.4＝0.85≈0.9
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过B作BF⊥AD于F，根据sin∠BAF＝，求出BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8即可；
（2）先求出AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，AD＝3.25米， 再利用线段的和差求出BC＝DF＝AD AF＝3.25 2.4＝0.85≈0.9即可。
21．（2022·济南模拟）为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同．
（1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元；
（2）若购买A、B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？
【答案】（1）解：设A种学习用品的单价为元，则B种学习用品的单价为元
由题意得
去分母得，
移项合并得，
系数化为1得，
经检验，是原分式方程的解
∴元
∴A、B两种学习用品的单价分别为20元和30元．
（2）解：设最多购买B型学习用品件，则购买A型学习用品件
由题意得，
解得
∴最多购买B型学习用品80件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A种学习用品的单价为x元，则B种学习用品的单价为元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设最多购买B型学习用品x件，则购买A型学习用品件，根据题意列出不等式求解即可。
22．（2022·历城模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．
（1）求证：∠DCE＝∠ABC；
（2）若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵CE与⊙O相切
∴OC⊥CE
∴∠OCE＝90°，即∠OCB+∠ECB＝90°
∵AB为直径
∴，即∠ECB+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠OCB
∵OC＝OB
∴∠ABC＝∠OCB
∴∠DCE＝∠ABC．
（2）解：∵OA＝3
∴AB＝2OA＝6
∵∠AOD＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A
∴△AOD∽△ACB
∴即
解得AD＝9
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角为直角可得，即∠ECB+∠DCE＝90°，再根据切线的性质可得∠OCE＝90°，即∠OCB+∠ECB＝90° ，从而得到∠DCE＝∠OCB，再结合∠ABC＝∠OCB，即可得到∠DCE＝∠ABC；
（2）先证明△AOD∽△ACB，可得，再将数据代入可得，求出AD的长，最后利用线段的和差可得。
23．（2023·章丘模拟）我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学．某校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．很满意；C．一般；D．不满意．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题．
频数分布统计表
类别 频数 频率
A 60 h
B m 0.4
C 90 0.3
D 30 0.1
（1）接受问卷调查的学生共有　 　人；　 　，　 　
（2）补全条形统计图：
（3）为改进教学，学校决定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名学生参与网络座谈会，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
【答案】（1）300；120；0.2
（2）解：∵m=120，
∴ 补画条形图如图，
（3）解：画树状图如下，
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两名同学同时被抽中的情况有2种，
∴甲、乙两名同学同时被抽中的概率为：．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：∵C组频数为90，频率为0.3，
∴接受问卷调查的学生共有为90÷0.3=300人，
∴，
故答案为：300； 120；0.2；
【分析】（1）利用“C”的频数除以对应的频率可得总数，再求出m、n的值即可；
（2）根据m的值作出条形统计图即可；
（3）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
24．（2023·章丘模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．
（1）求，的值．
（2）当的面积为3时，求点的坐标．
（3）设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．
【答案】（1）解：直线过点，
，
，
直线过点，
，
，
过点，
；
（2）解：，，，，
，
，、、分别表示、、三点的横坐标，
，
解得，经检验是原方程的解，
；
（3）解：如图1，
，，
，
当是边，点在轴正半轴上，
作于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（舍去），
，
如图2，
当点在轴的负半轴上时，
由上知：，
，
，
当是对角线时，
当是对角线时，点在轴负半轴上时，
可得：，，
，
，
，
如图4，
，，
，
，（舍去），
当时，，
，
综上所述：或，．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入求出b的值，再求出点A的坐标，将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）先求出，再利用三角形的面积公式可得，求出t的值，即可得到点P的坐标；
（3）分类讨论，再分别画出图象并求解即可。
25．（2023·章丘模拟）在中，，，点D在BC上，且满足，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且，，连接AF．
（1）如图1，当点E落在BC上时，直接写出线段BE与线段AF的数量关系；
（2）如图2，在线段DB旋转过程中，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由；
（3）如图3，连接DF，若，求线段DF长度的最小值．
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴AC=BC，
∵BD=BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，
∴BD=DE=BC，BE=CB，
∴CE=CB，
∵∠CFE=90°，∠ECF=60°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE=CB，
∴AF=AC-CF=CB，
∴BE=2AF；
故答案为：BE=2AF；
（2）解：结论仍然成立，；
证明：理由如下：
在中，，，
∴，，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在CA上截取CG，使，连接GF，
∴，
∵由（2）知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，D，G分别是BC，AC三等分点，，
∴，，，
∴，即点F在以G为圆心，以1为半径的圆上运动，
∴当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段DF长度的最小值为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质求出BD=DE=BC，BE=CB，再求出CF=CE=CB，利用线段的和差求出AF=AC-CF=CB，即可得到BE=2AF；
（2）先证出，可得，再化简可得；
（3）在CA上截取CG，使，连接GF，当D，G，F三点共线，且点F在DG之间时，DF取得最小值，最小值为，再证出，可得，求出，最后求出线段DF长度的最小值为即可。
26．（2023·章丘模拟）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点D，的面积为12，求点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将，代入，
，
解得，
；
（2）解：令，则，
解得或，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
；
（3）解：如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时，
∵
∴
∴点Q和点C关于对称轴对称
∵，
∴抛物线的对称轴为
∵
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设与x轴交于点E
∵
∴
∴设
∵，
∴，
∴在中，，即
∴解得
∴
∴
∴设直线的解析式为
将，代入得，
∴解得
∴
∴联立直线和抛物线得，
∴解得
∴将代入得，
∴点Q的坐标为．
综上所述，点Q的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线BD的解析式，然后联立方程组求出点P的坐标即可；
（3）分类讨论：①当点Q在第一象限抛物线上时，②当点Q在第四象限的抛物线上时，再分别画出图象并求解即可。