4.7 相似三角形的性质
一、单选题
1．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）
A． B． C． D．
2．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为
A．3：4 B．4：3
C．：2 D．2：
3．若，相似比为1:2，则与的面积的比为（ ）
A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1
4．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（　　）
A．4 B．5 C．20 D．3.2
5．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（ ）
A. B． C． D．
6．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
7．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的阴影三角形与左图中相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（ ）
A． B． C．或3 D．或4
9．如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
11．如图，已知，任取一点，连接，分别取点，使，，，连接，得到，给出下列说法：①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为；④与的面积比为．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
12．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：OD=1：2，AC=5，则BD的长为______ ．
13．如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，，当________时，．
14．已知△ABC∽△DEF，与的相似比为4:1，则与对应边上的高之比为____________．
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点O，若=1，则=____________．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．
17．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是___．
18．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于_____．
19．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____．
20．如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为_____．
21．如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果，同时出发，用表示时间，那么当______时，以，，为顶点的三角形与相似．
三、解答题
22．如图，已知是斜边上的中线，过点作的平行线，过点作的垂线，两线相交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求的面积.
23．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：．
24.在图1的6×6的网格中，已知格点△ABC（顶点A、B、C都在格各点上）
（1）在图1中，画出与△ABC面积相等的格点△ABD（不与△ABC全等），画出一种即可；
（2）在图2中，画出与△ABC相似的格点△A1B1C1（不与ABC全等），且两个三角形的对应边分别互相垂直，画出一种即可．
25．如图：在△AOB中,∠AOB=90°，OA=12cm，AB=cm,点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s(厘米/秒)的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用x(秒)表示时间(0≤x≤6)，那么：
（1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2；
（2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，
(1)求证：△ADF∽△DEC
(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.
27．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F．
（1）求证：△BEF∽△CFG；
（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长．
答案
一、单选题
D．C.C.B.D．A．B．C.B．A．C．
二、填空题
12.10．
13.．
14．4：1．
15．4
16．
17．，2，．
18．2.5
19．5
20．或
21.或3．
三、解答题
22.（1）证明：∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴.
（2）解：在中，，，
∴，，
∵为斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，即，
∴.
23.如图，过点E作 交BC于点M，
∵，
∴ ，，
∴ ，
∴ ,
即 ，
∵
∴ ，
∴，
∴
24.解：（1）如图1，△ABD为所作；
（2）如图2，△A1B1C1为所作．
25.解：（1）∵∠AOB=90°
∴BO2=AB2-AO2
∴BO=6.
在Rt△OPQ中，OQ=6-x，OP=2x，
OQ·OP=5，
可求得x1=1，x2=5.
（2）当△OPQ∽△OAB时,=,即=，解得x=3秒；
当△OPQ∽△OBA,= ,即=,解得x=秒。
综上所述,当x=3秒或秒时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似
26.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=,∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC CD=AB=4
又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴∴
∴AF=
27.解：(1)∵ABCD是正方形，于F
∴∠B=∠C=∠EFG=
∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=
∴∠BEF=∠CFG
∴△BEF∽△CFG
(2)解: ∵△BEF∽△CFG
∴
∴ ．