2022---2023学年度第二学期福州八县（市）一中期末联考
高一年级 数学 科试卷
完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数满足，是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，，且与平行，则x等于（ ）
A． B． C．2 D．10
3.在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（ ）
A. B.
C. D.
4.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率:先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果。经随机模拟产生10组随机数:812，832，569，684，271，989，730，537，925，907。由此估计3例心脏手术全部成功的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
5.设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°（B、D、E在同一水平面上），山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°。以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为（ ）。
A． B. C. D.2
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是( )
A.A与B为互斥事件 B.A与B为相互独立事件
C. D.
10.已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列命题中正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，则
C.若，，则 D. 若，，，则
11.已知，则正确的有（ ）
A． B． C． D．
12.如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在轴、轴正半轴上移动，则的可能值为（ ）
A． B. C. D.2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若样本数据x1，x2，…x10的方差为3，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为_________。
14.已知函数，则f（f（﹣2））＝　 　．
15.在四面体ABCD中，E、F 分别是AB、CD的中点。若BD、AC所成的角为45°,且BD=2，AC=4，则EF 的长为_________。
16.已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E为AA1的中点，点F 在CC1上（不与C、C1重合），三棱锥A-D1EF 的体积为 ，当F 为CC1的中点，几何体AED1FCD 的体积为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）已知非零向量夹角为，且.
(1)当时，求；
(2)若，且，求.
18.（12分）如图，是正方形所在平面外一点，且平面平面，、分别是线段、的中点．
(1)求证：平面
(2)求证：
19.（12分）已知在中，角，，所对的边分别是，，，满足条件：______.在 ① ；②；③.这三个条件中任选 个，补充在上面的问题中，并解答。注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。
问题：(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围。
20.（12分）如图，一块正方体形木料ABCD—A1B1C1D1的上底面有一点M，
(1)问：经过点M在上底面面上能否画一条直线，使得与CM垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由。
(2)若正方体棱长为2，F为线段BC的中点，求AF与面A1BC所成角的正弦值。
21.（12分）近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.
(1)求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数（第75百分位数）；
(2)现按照分层抽样的方法从年龄在和的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在的概率。
22.（12分）已知函数，；
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)指出函数的单调性（只需用复合函数理由说明，不要求定义证明）；
(3)设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值。
2022---2023学年度第二学期福州八县（市）一中期末联考高一数学科评分细则
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1~4 D C B B 5~8 D D D B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.BD 10. AD 11. ABC 12. CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 12 14. 4 15. 16. ,
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解： (1)当时，
…………………….......………2分
, …………………………....………………4分
, ………………………….......……………5分
……………………………...........…………6分
(2)，，……………………………………7分
， ………………………………..…..…………8分
……………………………………………10分
解：（1）法一：
取PD中点G，连接FG，AG，在ΔPDC中，因为F、G分别是PC，PD的中点，
所以FG//CD，FG=CD； …...………….…1分
因为E是正方形ABCD边AB的中点，
所以AE//CD，AE=CD； .........................…2分
所以AE=GF，AE=GF；
即四边形AEFG是平行四边形， …...........……3分
所以EF//AG， ................................………4分
又因为AG平面PAD，EF平面PAD， …………5分
所以EFI//平面PAD .............................……6分
法二：
延长DA交CE延长线于H，连接PH，可证明EF//PH，
其他类比解法一给分
法三：
取CD中点I，连接EI，FI，转化证明平面EFI//平面PAD，
其他类比解法一给分
（2）因为正方形ABCD中，BDAC， .........……7分
又平面ABCD平面PAC；
平面PAC平面ABCD=AC，
BC平面ABCD，
所以BD平面PAC， ..................................……10分
因为PC平面PAC， .......................................…11分
所以BDPC． ..............................................……12分
19. 解：（1）选择①由正弦定理可得，，..…1分
即， .......................................…2分
得，...................................3分
所以
又B为三角形的内角，所以， ...................................................…4分
得，又A为三角形内角， ...................................................…5分
因此，。 ..................................................…6分
选择②由正弦定理可得，， ..…1分
从而可得，， ...................................................…2分
即， ...................................................…3分
又B为三角形的内角，所以， ...................................................…4分
于是， 又A为三角形内角， ...................................................…5分
因此，。 ..................................................…6分
选择③由正弦定理可得，， ...................…1分
即， ...................…2分
得 ...............…3分
即，
又C为三角形的内角，所以， ...............................…4分
得，又A为三角形内角， ................................................…5分
因此，。 .................................................…6分
（2）∵ ....…7分
， .......................................…9分
由可知，，所以， ....................................…10分
从而，
因此，，
故的取值范围为。 ..............................…12分
19.解：（1）作图，如图所示，连接C1M，在面A1B1C1D1上过M点作直线GHC1M。…1分
证明：在正方体AC1中，CC1面A1B1C1D1，GH面A1B1C1D1，…2分
所以GHCC1， ...................................…3分
而GHC1M，且C1MCC1， .................…...................…4分
故GH面MCC1， .................…...................…5分
又CM面MCC1，
所以GHMC。 .................…....................................…6分
（2）在面ABB1A1上，过点A作AEA1B， ..................…7分
在正方体AC1中，BC面ABB1A1，AE面ABB1A1，
所以BCAE，
而A1BBC=B，
故AE面A1BC。 ..........................…8分
所以EF为斜线AF在面A1BC上的射影，
AFE为斜线AF与面A1BC所成的角。 .............…....................…...............…9分
∵AE面A1BC，EF面A1BC，
AEEF .............................….............................…10分
在直角三角形AEF中，AB=2,BF=1，AF=,AE=,
sinAFE=
所以AF与面A1BC所成角的正弦值为 ..........................................12分
21.解:依题意，，解得， ............................2分
因为前3组的频率和为< 0.75，
前4组的频率和为, ...........................3分
所以所求上四分位数（第75百分位数）为 .........................6分
(2)由频率分布直方图可知年龄在和的频率分别为，
所以年龄在的投资者应抽取3人，记为A，B，C
年龄在的投资者应抽取2人.记为a，b， ...............................................8分
则任取2人，所有的情况为：
，共10种，............9分
满足条件的为共7种 ....................10分
故至少有1人年龄在的概率为. .........................................12分
22.(1)判断：函数在R上为奇函数。 .............................1分
因为，恒成立。
所以函数的定义域为R，关于原点中心对称。 .................2分
=
= — =—
所以函数在R上为奇函数。 ..................................4分
（2）由（1）知=
= — ...............................................5分
因为在是增函数，
又，（）为减函数， ................................................6分
所以在上为减函数； ...............................................7分
（3）因为对任意都有,
所以对任意都有，
由在上为减函数；
所以对任意都有，
所以对任意都有， ...............................................8分
因为， ...................................................9分
所以即，解得 ..................................................10分
因为，
令，则，
令，它的对称轴为，
当，即时，在上是增函数，
，
解得舍去， ............................................................................11分
当即时，此时，
解得，
所以. ...................................................................12分