开封市 2022--2023 学年度第二学期期末调研考试
高一数学参考答案
注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A D D B C B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 ABD ACD AC ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1
13． 14．0.4 15． 2，4 16．4+ 6
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10 分）
（1）高一年级有学生 1000 人，其中男生 600 人，女生 400 人，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽
600 400
取一个容量为 50 的样本，所以抽取男生人数为 50=30，女生人数为 50=20.…………4 分
1000 1000
2
（2）记男生身高为 x1, x2 , , x30 ，其均值记为 x，方差记为 sx ；女生身高为 y1, y2 , , y20，其均值记为 y，方
2
差记为 sy；把总样本数据的均值记为 z ，方差记为 s2 .
所以总样本的均值为 z
30 x 20 y 30 170 20 160 166，…………7分
50 50 50
s2 1 30 2 2 2 2总样本的方差为 50 sx (x z ) 20 s y ( y z )
1
30 14 (170 166)2 20 34 (160 166)2 46，…………9分50
所以总样本的方差为 46，据此估计高一年级学生身高的总体方差为 46 .……10 分
18.（12 分）
（1）证明：如图所示，分别取DD1，CD的中点M，N ，连接MN，EM，BN ，
由已知易得： EM∥= AD ，BN∥= AD ，所以 EM∥= BN ， EMNB是平行四边形，
所以 EB∥MN ，又因为MN∥CD1，所以 EB∥CD1，…………3分
又因为CD1 平面BDE，EB 平面BDE ，所以CD1∥平面BDE .………5分
（2）由（1）CD1∥平面BDE，所以CD1上任意一点 F 到平面BDE 的距离都相等，…………6 分
所以VF BDE VC BDE=VE BCD，…………8分
1
由已知易得： S BCD AD CD 2， AE 平面ABCD， AE=1，2
V = 1 S 2 2带入数据解得 E BCD BCD AE= ，所以三棱锥F BDE 的体积为 .…………12 分3 3 3
19.（12 分）
2
（1）由题可知：a 3e1 2e2 ，b e1+ 2e2 ， e1 e2 ，…………2分2
则a b 3e1 2e 22 e1 2e2 3e1 2 2e1 e2 2e 22 3；…………6 分
1
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2（2） b e + 2e 21 2 e1 2 2e1 e2 2e 22 5 ，…………8 分
记a
b a b 3 3
与b 的夹角为 ，则向量a 在向量b 上的投影向量为 a cos 2 b b= e1+
3 2 e
b 5 5 5 2，……10 分b
3 3 2
所以向量a 在向量b 上的投影向量在斜坐标系 xOy中的坐标为 , .…………12 分
5 5
20.（12 分）
（1）由题意可知，甲先发球，两人又打了 2 个球该局比赛结束，所对应的事件为 A=“甲连赢两球或乙连
赢两球”，…………2 分
P(A) p 2所以 1 p 3 7 2 ，解之得 p= .…………6 分
5 5 15 3
（2）由题意可知，两人又打了 4 个球且甲获胜，所对应的事件为 B=“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲
得分”，…………8分
P(B) 2 3 1 2 2 2 32所以 （ ） .…………12 分
3 5 3 5 3 5 225
21.（12 分）
a b c b sinA sin B ab2 b2 3
（1）由正弦定理 ，可得 ,即
sin A sin B sinC 2 2 2 b
3
c，……2分
a sin C ac c 4 2
7 c2 a22 2 2
又因为 cos A b c a 4 5 3 ，得 a
2
c，…………4 分
2bc 3c2 12 2
3 2
2
所以 cos B a c
2 b2 c4 3 2 .…………6 分
2ac 2c2 8
46
（2）由（1）可知 sin B ，所以 S ABC =
1 ac sin B 23 c 2 23 ，
8 2 16
得 c 4， a 2 2，b 2 3，…………9分
1
又因为 BD= BA+BC ， BA BC= BA BC cosB=6，2
1 2 1所以 BD = BA BC 16 8 12 3，即线段 BD的长为3 .…………12 分2 2
22.（12 分）
（1）底面 ABC为正三角形， E为棱 BC的中点，所以 BC AE，
因为CD 平面ABC， AE 平面ABC，所以CD AE，
又因为 BC,CD 平面BCD， BC CD C ，所以 AE 平面BCD，…………2 分
又DE 平面BCD，所以DE AE，
所以二面角C AE D的平面角是 CED，…………4 分
tan CED CD =2CD =2 = 3，所以 CED= .…………6分
CE AC 3
（2）在平面 BCD内作CH DE，连接 AH ，
由 AE 平面BCD，AE 平面ADE，所以平面BCD 平面ADE，所以CH 平面ADE，
所以直线 AC和平面 ADE所成的角 CAH= ，…………8 分
1 AC AC
sin CH CE CD 1 2 = =
AC AC DE 2 ，………10 分
AC 2AC2+ 1 AC2 4 +1 4+ 1
4 2
所以0 sin
1
，0

，所以直线 AC和平面 ADE所成角 的取值范围为 0，
2 6 6
.…………12 分

2
{#{QQABLYqQggCAQAJAAABCUwHACAIQkhECAIgORBAQIEIByBFABAA=}#}开封市2022-2023学年度第二学期期末调研考试
高一数学试题
注意事项:
1.本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。答题前,考生务必将自己的姓名、考生
号等填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上对
应的答题区域内,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1+i
1.若复数z = ,则z的虚部为2+i
1 1 1 1
A.-5 B.5 C.-5i D.5i
在 1
2. △ABC 中,BD→= →,设3BC AB
→=a,A→C=b,则AD→=
2 1 2 1 4 1 4 1
A.3a+3b B.-3a+3b C.3a-3b D.3a+3b
3.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“2枚硬币都是正面朝上”,事件B=“2枚硬币朝
上的面相同”,则下列A 与B 的关系中正确的个数为
①A B ②互斥 ③互为对立 ④相互独立
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知m,n 为空间中两条直线,α,β为空间中两个平面,则下列说法正确的是
A.若m⊥α,m⊥n,则n∥α B.若m α,n β,m∥n,则α∥β
C.若m⊥α,α⊥β,n∥β,则m⊥n D.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
5.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条,这三条线段不能构成一个三角形的概率为
1 2 3 4
A.5 B.5 C.5 D.5
6.已知O',O 分别是圆柱O'O 上、下底面圆的圆心,A,B 分别是上、下底面圆周上一点,
若O'O=2O'A,且直线O'A 与OB 垂直,则直线AB 与O'O 所成的角的正切值为
1 2
A.2 B.2 C.2 D.2
高一数学 第1 页 (共4页)
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7.如图所示,为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B 在同一水平
面内的两个测量基点C 与D,现测得
3
tan∠ACB= ,4 CD=50m
,
5, 3cos∠BCD=5 cos∠BDC=
,则塔高 为
5 AB
A.153m B.203m
C.155m D.205m
8.如图,在平面四边形ABCD 中,∠A=90°,AB=AD=2,△BCD
为等边三角形,当点 M 在对角线AC 上运动时,M→C·MD→ 的最小
值为
3
A.-2 B.-2
1
C.-1 D.-2
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知复数z满足zi=1+i,则
A.z=1+i B.z在复平面内对应的点位于第四象限
C.|z|=2 D.z2-2z+2=0
10.某学校为普及安全知识,对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动
(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进
行统计分析,整理得到如图所示的频率分布直方图,根
据该直方图,下列结论正确的是
A.图中x 的值为0.020
B.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为
130人
C.该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80
D.该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.6
11.若平面上的三个力F1,F ,F 2 3作用于一点,且处于平衡状态.已知|F1|=4N ,|F2|=2N,
F1 与F2 的夹角为120°,则下列说法正确的是
A.|F3|=23N B.F1 与F3 的夹角为90°
C.F2 与F3 的夹角为90° D.(F1+F3)·F2=4
12.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,G 为面对角线A1D 上的一个动点(包
含端点),则下列选项中正确的有
A.三棱锥B1-GBC1 的体积为定值
B.线段A1D 上存在点G,使A1C⊥平面GBC 1
6
C.当点G 与点A1 重合时,二面角G-BC1-B1 的余弦值为3
D.设直线BG 与平面BCC1B1 所成角为θ,则tanθ的最大值为 2
高一数学 第2 页 (共4页)
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三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知a=(1,2),b=(-1,x),若a⊥b,则x= .
14.中岳嵩山是著名的旅游胜地,天气预报6月30日后连续四天,每天下雨的概率为0.6,利
用计算机进行模拟试验,产生0~9之间的整数随机数,假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨,
6,7,8,9表示当天不下雨,每4个随机数为一组,产生如下20组随机数:
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3181 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为 .
15.已知三角形△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,
1
c,且A→C·AB→=b2-2ab
,c=2,
则a+b的取值范围是 .
16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持
与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动(如图甲),利用这一原理,科技人员发明了转
子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个
球的相交部分围成的几何体(如图乙),若勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的面积为
25π,则正四面体ABCD 的棱长为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
某校高一年级有学生1000人,其中男生600人,女生400人.为了获得该校全体高一学生
的身高信息,采用样本量比例分配的分层随机抽样,抽取一个容量为50的样本.
(1)求抽取男生、女生的人数;
(2)观测样本的指标值(单位:cm),计算得到男生样本的均值为170,方差为14,女生样本
的均值为160,方差为34,求总样本的方差,并估计高一年级全体学生的身高方差.
18.(12分)
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,AB∥CD,AD⊥CD,
CD=AD=AA1=2AB=2,点E 为AA1 的中点.
(1)求证:CD1∥平面BDE;
(2)设F 是直线CD1 上的动点,求三棱锥F-BDE 的体积.
高一数学 第3 页 (共4页)
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19.(12分)
如图,设Ox,Oy 是平面内相交成45°角的两条数轴,e 1,e2分别是与x 轴,y 轴正方向同向
的单位向量.若向量OP→=p=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做
向量p 在斜坐标系xOy 中的坐标.设向量a,b在斜坐标系xOy 中
的坐标分别为(3,- 2),(1,2).
(1)求a·b;
(2)求向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy中的坐标.
20.(12分)
11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2
分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为p,
乙发球时甲得分的概率为2,各球的结果相互独立
5 .
已知在某局双方10∶10平后,甲先发球.
(1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为
7,求 的值;
15 p
(2)在(1)的条件下,求两人又打了4个球且甲获胜的概率.
21.(12分)
·
在 中,内角 , , b sinA
·sinB 3 53
△ABC A B C 的对边分别为a,b,c.已知 · 2 =
,
4 cosA= .a sinC 12
(1)求cosB;
(2)若△ABC 的面积为 23,且D 为AC 的中点,求线段BD 的长.
22.(12分)
三棱锥D-ABC 中,底面ABC 为正三角形,CD⊥平面ABC,
E 为棱BC 的中点,且
CD ( 为正常数)
AC=λλ .
(1)若
3
λ= ,求二面角2 C-AE-D
的大小;
(2)记直线AC 和平面ADE 所成角为α,试用常数λ表示sinα
的值,并求α的取值范围.
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