2023年湖北省襄阳市宜城市中考数学适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列图形：等边三角形，等腰梯形，正方形，圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图所示几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知反比例函数，当时，的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 下列事件中，是必然事件的是( )
A. 任意画一个平行四边形，是中心对称图形
B. 从，，中任意抽取一个数字都是正数
C. 抛掷个骰子，掷得的结果不是就是
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
7. 如图，直线，，，则度数是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在中，，以点为圆心的圆与边相切于点，与，分别交于点和点，点是优弧上一点，，则的度数是( )
A. B. C. D.
9. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：图中的三角形都是等腰直角三角形；图中的四边形是菱形；四边形的面积占正方形面积的正确的有( )
A. B. C. 只有 D.
10. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中错误的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 截至北京时间月日时分，全球累计确诊新冠肺炎病例超过万例用科学记数法表示万是______ ．
12. 若式子有意义，则的取值范围是______．
13. 一个不透明的袋子中装有红、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球是一红一白的概率为______ ．
14. 某学生推铅球，铅球所经过的路线是抛物线的一部分，若这名学生出手点，铅球路线最高处为，则该学生将铅球推出的距离是______ ．
15. 等腰三角形腰长为，面积为，则底角的度数为______ ．
16. 如图，矩形中，，，是中点，上有一动点，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查每人必须且只选其中一项，并将统计结果绘制成如下统计图不完整根据统计图提供的信息，解答下列问题：
______ ， ______ ；
在扇形统计图中，“实验探究”所对应的扇形的圆心角度数是______ 度；
请根据以上信息补全条形统计图；
该校共有名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数．
19. 本小题分
如图，小明想要利用无人机测量他家附近一座古塔的高度在古塔所在的地平面上选定点在处测得古塔顶端点的仰角为，小明遥控无人机悬停在点正上方的处时，测得古塔顶端点的俯角为，若观测点到古塔的水平距离为，求古塔的高度以及无人机离地面的高度参考数据：，，
20. 本小题分
如图，在矩形中，，．
作的角平分线，交于点；
求的周长．
21. 本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
如果方程的两个实数根为，，且，求的所有整数值的和．
22. 本小题分
如图，是的切线，是切点，是的直径，点是的上一点，且，交于点．
求证：是的切线；
若，求阴影部分的面积．
23. 本小题分
“五一”前夕，某蛋糕店推出、两种不同口味的蛋糕，个种蛋糕和个种蛋糕的利润和为元，个种蛋糕和个种蛋糕的利润和为元．
求每个种蛋糕和种蛋糕的利润；
蛋糕店计划每天制作两种蛋糕共个，设制作种蛋糕个，两种蛋糕全部卖完共获利元．
求与之间的函数关系式；
若每天制作种蛋糕的个数不少于个，且不超过种蛋糕个数的倍，求每天全部卖完这两种蛋糕获得的最大利润；
在的条件下，该蛋糕店对种蛋糕以每个优惠元的价格进行“五一”促销活动，种蛋糕价格不变，且每天全部卖完这两种蛋糕所获得的最大利润不低于元，请求出的取值范围．
24. 本小题分
已知菱形的边长为，等边两边分别交边，于点，．
特殊发现：如图，若点，分别是边，的中点求证：菱形对角线，的交点即为等边的外心；
若点，始终分别在边，上移动，等边的外心为点．
猜想验证：如图猜想的外心落在哪条直线上，并加以证明；
学以致用：如图，当的面积最小时，过点任作一直线分别交边于点，交边的延长线于点，求的值．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点为，过点分别作轴，轴的垂线交于点，，直线交轴于点．
若点在轴的左侧，且为中点，求抛物线的解析式；
求线段长的最小值，并求出当的长度最小时点的坐标；
若，，三点中，任意两点都不重合，且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值为：，
的相反数为：，
所以的绝对值的相反数是为：，
故选：．
根据绝对值的定义，这个数在数轴上的点到原点的距离，的绝对值为；根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，的相反数为，进而得出答案即可．
此题考查了绝对值及相反数，关键明确：相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数；绝对值的定义，这个数在数轴上的点到原点的距离．
2.【答案】
【解析】解：等边三角形，等腰梯形，正方形，圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有正方形，圆，共个．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3.【答案】
【解析】解：、，故结论错误；
B、，故结论错误；
C、，故结论错误；
D、，故结论正确．
故选：．
A、利用同底数的幂相乘法则计算即可；
B、利用幂的乘方的法则计算即可；
C、利用积的乘方则计算即可；
D、利用同底数的幂相除法则计算即可．
此题主要考查了同底数的幂的乘法、除法、幂的乘方及积的乘方法则，解题的关键是熟练掌握这些计算法则．
4.【答案】
【解析】解：从左边看，是一列两个小正方形．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】
【解析】解：反比例函数中，
当时，随的增大而增大，
当时，，当时，，
当时，，
故选：．
利用反比例函数的增减性即可求得答案．
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在中，当时，在每个象限内，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
6.【答案】
【解析】解：任意画一个平行四边形，是中心对称图形，是必然事件，故此选项符合题意；
B.从，，中任意抽取一个数字都是正数，是随机事件，故此选项不合题意；
C.抛掷个骰子，掷得的结果不是就是，是随机事件，故此选项不合题意；
D.经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用中心对称图形的性质以及随机事件的定义分析得出答案．
此题主要考查了随机事件，正确掌握随机事件的定义是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：直线，，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，同位角相等得出，进而利用三角形的外角性质解答．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
8.【答案】
【解析】解：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，由圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，
，，，，
，、，均为等腰直角三角形，
点，分别是，的中点，
是的中位线，为等腰直角三角形，
，
，
连接，
则点，，，在同一条直线上，
点为的中点，点为的中点，
为的中位线，
，
，
又，
为等腰直角三角形，
点为的中点，，
点为的中点，
又点为的中点，
为的中位线，
，，
，
为等腰直角三角形，
综上所述：说法正确；
，，，，
四边形是平行四边形，
又，
，
四边形不是菱形，故说法不正确；
设，则，，
，
，
，
四边形为梯形，
，
说法不正确．
综上所述：说法正确的只是．
故选：．
首先根据正方形的性质可判定，、，均为等腰直角三角形，再判定是的中位线，为的中位线，为的中位线，据此可判定、均为直角三角形，据此可对说法进行判定；
根据三角形的中位线得，，由可得，据此可对说法进行判定；
设，则，，，，然后分别求出正方形的面积和四边形的面积即可对说法进行判定．
本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，梯形的判定，正方形的面积、梯形的面积等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决文题的关键．
10.【答案】
【解析】解：二次函数图象与轴交于正半轴，
，
二次函数图象的对称轴是直线，
，
，
，
，
，
正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
错误；
，
，
正确；
图象经过点，
，
，
，
，
不正确；
故选：．
根据题意可知，抛物线与轴交于正半轴，，对称轴为直线，，据此对作出判断；根据抛物线与轴的交点，即可对作出判断；根据对称轴为直线，即可对作出判断；根据二次函数图象与轴另一个交点为，坐标代入解析式即可得出，即可求得，即可对作出判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系的知识：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
11.【答案】
【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12.【答案】且
【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次根式有意义和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
13.【答案】
【解析】解：列表得，
红 红 白 白
红 红红 红红 红白 红白
红 红红 红红 红白 红白
白 白红 白红 白白 白白
白 白红 白红 白白 白白
由表格可知，不放回的摸取次共有种等可能结果，其中两次摸出的小球都是一红一白有种结果，
两次摸出的小球都是白球的概率为：，
故答案为：．
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
本题考查概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】
【解析】解：设二次函数的解析式为，
由于顶点坐标为，
，
又在抛物线上，
，
解得：
二次函数的解析式为，
整理得：，
当时，，
，不合题意，舍去．
米．
故答案为：．
由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将代入即可求解．求得的函数解析式，令，求得的的正值即为铅球推出的距离．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是函数解析式的求法．
15.【答案】或
【解析】解：设该等腰三角形为，其中，
当是锐角三角形时，过点作边上的高，
则，
，
，
；
当是钝角三角形时，过点作边上的高，
则，
，
，
，
．
综上所述，底角的度数为或．
故答案为：或．
分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，首先求得腰上的高，然后解直角三角形求出顶角或顶角的外角，最后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出底角即可．
本题考查了解直角三角形及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是进行分类讨论．
16.【答案】
【解析】解：取的中点，连接和，如图所示：
沿着翻折得到，
，
，是中点，，
，
为的中点，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
当点、、三点共线时，有最小值为，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
则的最小值为，
故答案为：．
取的中点，连接和，沿着翻折得到，，为的中点，，可得到，可证明∽，可得，故，从而得到，当点、、三点共线时，有最小值为．
本题考查了矩形和相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
17.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：被调查的总人数为：人，
，，
故答案为：，；
在扇形统计图中，“思想方法”所对应的扇形的圆心角度数是：，
故答案为：；
类别人数为人，
补全图形如下：
根据题意得：名，
答：估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数有名．
先计算出总人数，根据条形统计图可得、的值；
计算出类所占的百分比，可得圆心角；
先求出等级人数，再补全统计图即可；
用总人数乘以最喜欢“思想方法”的学生人数所占的百分比即可．
本题考查了扇形统计图、条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
19.【答案】解：过点作于，由图可知，，，
在中，，，
，
．
在中，，，
．
，
．
答：古塔的高度为，无人机离地面的高度位．
【解析】过点作于，，构建方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：如图：射线即为所求；
过作于点，
四边形是矩形，
，
是的角平分线，
．
，
≌．
，，
设，则，
，，
．
，，
在中，，
，解得．
，
．
．
．
【解析】根据作角平分线的基本作法作图；
根据勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：根据题意得，
解得；
由一元二次方程的根与系数的关系得，，
，即．
，解得，
，
．
的整数值为，和，它们的和．
【解析】由方程有两个实数根，则其判别式大于或等于可得到关于的不等式，可求得的取值范围；
利用根与系数的关系表示出题目中的条件，结合可求得的取值范围，可求得的值．
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握一元二次方程有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和无实数根是解题的关键．
22.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
在中，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积
的面积扇形的面积
，
阴影部分的面积为
【解析】连接，利用切线的性质可得，再利用平行线的性质可得，，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而利用证明≌，最后利用全等三角形的性质可得，即可解答；
根据已知可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数的定义求出的值，从而可得，最后利用的结论可得，从而根据阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：设每个种蛋糕的利润为元、每个种蛋糕的利润为元，
根据题意，得，
解得，
答：每个种蛋糕的利润为元、每个种蛋糕的利润为元．
由题意知，，
与之间的函数关系式为．
由题意得，，
，
又，
，
在中，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为元，
答：每天全部卖完这两种蛋糕获得的最大利润为元．
在的条件下，总利润，
，
，
随的增大而增大，
，有最大值，
，解得，
，
的取值范围值为．
【解析】设每个种蛋糕的利润为元、每个种蛋糕的利润为元，列出方成组求解即可．
总利润种蛋糕的利润种蛋糕的利润．根据种蛋糕的个数不少于个，且不超过种蛋糕个数的倍，求出的范围，利用中函数关系式确定的最大值即可．
在的条件下，总利润，当，有最大值，列出不等式，求出的范围即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，正确找出等量与不等关系是解题的关键．
24.【答案】证明：如图，连接、，
四边形是菱形，
，平分，，
，．
又、分别为、中点，
．
，
点为的外心；
解：猜想：外心一定落在直线上．理由如下：
如图，分别连接、，过点分别作于，于，
，
，
，
点是等边的外心，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
．
点在的平分线上，
即点落在直线上；
当时．面积最小，此时点、分别为、中点．
连接、交于点，由可得点即为的外心．
如图，设交于点，
设，，则，
四边形是菱形，
，，
．
在和中，
，
≌，
，
．
，
∽，
，
，
，
．
即．
【解析】连接、，利用菱形的对角线互相垂直平分，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质，含角的直角三角形的性质和三角形外心的性质解答即可；
分别连接、，过点分别作于，于，利用菱形的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
当时．面积最小，此时点、分别为、中点，连接、交于点，由可得点即为的外心，设，，则，利用全等三角形的判定与性质得到，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外心的性质，熟练掌握菱形的性质和圆的有关性质是解题的关键．
25.【答案】解：抛物线的顶点为，
，
轴于点，交于点，
，，
为中点，
，
解得：，，
点在轴左侧，
，
抛物线的解析式为；
直线：，
令，得，
解得：，
，
．
令，得，
，
，
．
，
，
轴，轴，
轴，轴，
，
，
，
当时，的值最小，最小值为，此时点的坐标为；
，，，
当，即时，与重合，不合题意；
当时，与重合，不合题意；
当时如图，
，，
，
，符合题意；
当时如图，
则．
由，解得：，，
又，
当或时，的值大于，即；
综上可知，的取值范围是或或．
【解析】由题意可得：，，，根据中点公式可得，即可求得抛物线解析式；
先求得，，可得，，再由平行线性质可得，得出，运用二次函数的性质即可求得答案；
由，，，当，即时，与重合，不合题意；当时，与重合，不合题意；当时，可得，成立；当时，可得，由，可得，，根据二次函数的性质即可得出当或时，．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，第问要注意分类讨论，防止漏解．
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