2022-2023学年天津市东丽区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如图图形中∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列实数，，3.14159，，0，+1，中无理数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（　　）
A．∠A+∠D＝180° B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A＝∠CBE
4．已知点P（0，a）在y轴的负半轴上，则点A（﹣a，﹣a+5）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列命题中，真命题的个数有（　　）
①同一平面内，两条直线一定互相平行；
②有一条公共边的角叫邻补角；
③内错角相等．
④对顶角相等；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，如果小华的位置用（﹣2，0）表示，小军的位置用（0，1）表示，那么小刚的位置可以表示成（　　）
A．（2，3） B．（4，5） C．（3，2） D．（2，1）
7．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，点A对应点A1（3，b），点B对应点B1（a，3），则a+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
8．下列计算正确的是（　　）
A．＝±3 B．＝﹣2 C．＝﹣3 D．+＝
9．的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．±
10．如图，某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．25° C．35° D．50°
11．若实数xy满足 +2（y﹣2）2＝0，则x+y的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
12．如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝34°，下列结论：
①∠C'EF＝34°；
②∠AEC＝112°；
③∠BFD＝112°；
④∠BGE＝78°．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，本大题共6小题，共18.0分）
13．的算术平方根是 　 　．
14．如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BC＝5，则平移的距离为 　 　．
15．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝　 　．
16．点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为　 　．
17．已知≈1.038，≈2.237，≈4.820，则≈　 　．
18．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有　 　个．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）（﹣）2++|1﹣|；
（2）4﹣2（）．
20．已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为 　 　；
（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为 　 　；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2023+2024的值．
21．如图，已知∠1＝38°，∠2＝38°，∠3＝115°36′，求∠4的度数．
22．已知一个正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2，b+11的立方根为﹣3；
（1）求a，b的值；
（2）求1﹣（a+b）的平方根．
23．如图，已知：∠1与∠2互补，∠A＝∠D，求证：AB∥CD．
24．如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．
（1）画出经过两次平移后的图形，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P1的坐标为（﹣2，﹣2），请求出a，b的值；
（3）求三角形ABC的面积．
25．【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
理由如下：
过点P作PQ∥AB．
∴∠BAP+∠APQ＝180°．
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD．
∴∠PCD+∠CPQ＝180°．
∴∠BAP+∠APC+∠PCD
＝∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD
＝180°+180°
＝360°．
【问题解决】
（1）如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系是　 　；（只写结论）
（2）如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并写出理由；
（3）如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE＝∠BAP，∠DCE＝∠DCP，可得∠AEC与∠APC间的等量关系是　 　（只写结论）
参考答案
一、选择题（每题3分，本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如图图形中∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义逐一判断即可得解．
解：（C）∠1与∠2没有公共顶点，故C错误；
（A）与（D）∠1与∠2的两边不是互为反向延长线，故A、D错误；
（B）∠1与∠2符合对顶角的定义；
故选：B．
【点评】本题考查对顶角的定义，解题关键是两个角有公共顶点，且两边互为反向延长线，本题属于基础题型．
2．下列实数，，3.14159，，0，+1，中无理数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：所列6个数中，无理数有、+1这2个数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（　　）
A．∠A+∠D＝180° B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A＝∠CBE
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
解：要AD∥BC，只需∠A＝∠CBE．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
4．已知点P（0，a）在y轴的负半轴上，则点A（﹣a，﹣a+5）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据y轴负半轴上点的纵坐标是负数判断出a，再根据各象限内点的坐标特征解答．
解：∵点P（0，a）在y轴的负半轴上，
∴a＜0，
∴﹣a＞0，
﹣a+5＞5，
∴点A（﹣a，﹣a+5）在第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．下列命题中，真命题的个数有（　　）
①同一平面内，两条直线一定互相平行；
②有一条公共边的角叫邻补角；
③内错角相等．
④对顶角相等；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据同一平面内两直线的位置关系、邻补角、平行线的性质、对顶角及点到直线的距离等知识性质逐一进行判断即可．
解：①同一平面内两直线的位置关系有相交、平行、重合，故错误，不是真命题；
②两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角，所以有一条公共边的角叫邻补角错误，不是真命题；
③只有两条直线平行，内错角相等，所以只说内错角相等错误，不是真命题；
④对顶角相等是真命题；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离是假命题；
所以④为真命题；
故选：B．
【点评】本题考查真命题的概念及同一平面内两直线的位置关系、邻补角、平行线的性质、对顶角及点到直线的距离等知识，关键准确掌握．
6．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，如果小华的位置用（﹣2，0）表示，小军的位置用（0，1）表示，那么小刚的位置可以表示成（　　）
A．（2，3） B．（4，5） C．（3，2） D．（2，1）
【分析】因为小华的位置用（﹣2，0）表示，即为原点，由此得小刚的坐标．
解：如图所示：
你的位置可以表示成（2，3），
故选：A．
【点评】本题考查了平面坐标系的建立，在平面直角坐标系中确定点的位置，解决问题的关键是确定原点的位置．
7．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，点A对应点A1（3，b），点B对应点B1（a，3），则a+b的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
【分析】根据点的坐标的变化可得将线段AB向右平移1个单位，向上平移2个单位，然后可确定a、b的值，进而可得答案．
解：∵A，B的坐标为（2，0），（0，1）平移后点A对应点A1（3，b），点B对应点B1（a，3），
∴将线段AB向右平移1个单位，向上平移2个单位，
∴a＝0+1＝1，b＝0+2＝2，
∴a+b＝1+2＝3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
8．下列计算正确的是（　　）
A．＝±3 B．＝﹣2 C．＝﹣3 D．+＝
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
解：（A）原式＝3，故A错误；
（B）原式＝﹣2，故B正确；
（C）原式＝＝﹣3，故C错误；
（D）与不是同类二次根式，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．
9．的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．±
【分析】先化简，然后再根据平方根的定义求解即可．
解：∵＝2，
∴的平方根是±．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．
10．如图，某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．25° C．35° D．50°
【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由平行线的性质，即可得出∠CDE的度数．
解：由题意得，AB∥DE，
如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC＝180°，
∴∠BCF＝180°﹣125°＝55°，
∴∠DCF＝75°﹣55°＝20°，
∴∠CDE＝∠DCF＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．
11．若实数xy满足 +2（y﹣2）2＝0，则x+y的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
解：∵+2（y﹣2）2＝0，
∴2x﹣1＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝，y＝2，
∴x+y＝+2＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
12．如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝34°，下列结论：
①∠C'EF＝34°；
②∠AEC＝112°；
③∠BFD＝112°；
④∠BGE＝78°．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的性质和翻折的性质，逐项进行求解即可得出答案．
解：∵∠EFB＝34°，AC'∥BD'，
∴∠EFB＝∠FEC'＝FEG＝34°．
故①正确；
∵∠C'EG＝∠FEC'+∠FEG＝68°，
∴∠AEC＝180°﹣∠C'EG＝112°．
故②正确；
∵EC/DF，
∴∠BFD＝∠BGC，
∵AC'∥BD'，
∴∠AEC＝∠BGC，
∴∠BFD＝∠AEC＝112°．
故③正确；
∵AC'∥BD'，
∴∠BGE＝∠C'EG＝68°．
故④错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及翻折的性质，熟练应用相关的性质进行求解是解决本题的关键．
二、填空题（每题3分，本大题共6小题，共18.0分）
13．的算术平方根是 　　．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，由此即可得答案．
解：的算术平方根是．
故答案为：．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
14．如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BC＝5，则平移的距离为 　3　．
【分析】根据平移的性质列式即可得到结论．
解：∵△DEF是由△ABC通过平移得到，
∴BE＝BC﹣CE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
15．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝　53°　．
【分析】由平行线的性质求出∠2＝∠3＝37°，根据平角的定义，垂直的定义，角的和差求得∠1＝53°．
解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
又∵∠2＝37°，
∴∠3＝37°，
又∵∠1+∠3+∠4＝180°，∠4＝90°，
∴∠1＝53°，
故答案为53°．
【点评】本题综合考查了平行线的性质，垂直的定义，平角的定义，角的和差相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是平行线的性质，垂直的性质在学习工具中的应用．
16．点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为　（﹣2，﹣5）　．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质分析得出答案．
解：点P（2，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为：（﹣2，﹣5）．
故答案为：（﹣2，﹣5）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出对应点横纵坐标的关系是解题关键．
17．已知≈1.038，≈2.237，≈4.820，则≈　﹣22.37　．
【分析】根据被开方数小数点移3位，开立方后的结果移一位进行计算．
解：∵≈2.237，
∴≈﹣22.37．
故答案为：﹣22.37．
【点评】此题主要考查了立方根，关键是掌握小数点的移动规律．
18．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有　3　个．
【分析】估计出的范围即可求解．
解：∵1＜2＜4，
∴1＜＜2，
∴A，B两点之间的整数有2，3，4三个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，估算出的值是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）（﹣）2++|1﹣|；
（2）4﹣2（）．
【分析】（1）先计算平方、立方根和绝对值，再计算加减；
（2）先去括号，再计算实数的加减运算．
解：（1）（﹣）2++|1﹣|
＝﹣2+（3﹣1）
＝﹣2+2
＝；
（2）4﹣2（）
＝4﹣2+2
＝6﹣2．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
20．已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为 　（2，0）　；
（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为 　（5，﹣1）　；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2023+2024的值．
【分析】（1）根据题意列出方程即可解决问题；
（2）根据题意列出方程即可解决问题；
（3）根据题意列出方程得出a的值代入即可得到结论．
解：（1）由题意可得：2+a＝0，解得：a＝﹣2，
﹣3a﹣4＝6﹣4＝2，
所以点P的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）根据题意可得：﹣3a﹣4＝5，解得：a＝﹣3，
2+a＝﹣1，
所以点P的坐标为（5，﹣1），
故答案为：（5，﹣1）；
（3）根据题意可得：﹣3a﹣4＝﹣2﹣a，
解得：a＝﹣1，
∴﹣3a﹣4＝﹣1，2+a＝1，
∴（﹣1，1）在第二象限，
把a＝﹣1代入a2023+2024＝2023．
【点评】本题考查坐标与图形的变化，一元一次方程等知识，解题的关键是熟记各象限内与坐标轴上点的坐标的特点．
21．如图，已知∠1＝38°，∠2＝38°，∠3＝115°36′，求∠4的度数．
【分析】根据内错角相等得到a∥b，然后根据平行线的性质得到∠3＝∠5，已知∠4+∠5＝180°，则得到∠4＝180°﹣∠3，计算即可．
解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3＝∠5；
又∵∠4+∠5＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣115°36′＝64°24′．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键．
22．已知一个正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2，b+11的立方根为﹣3；
（1）求a，b的值；
（2）求1﹣（a+b）的平方根．
【分析】（1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值；
（2）根据算术平方根的定义求出1﹣（a+b）的算术平方根．
解：（1）由题意得，3a﹣14+a+2＝0，
解得：a＝3，
b+11＝﹣27，
解得：b＝﹣38；
（2）∵1﹣（a+b）＝1﹣（﹣35）＝36，
∴1﹣（a+b）的平方根是±＝±6．
【点评】本题考查的是平方根、立方根和算术平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数；正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根．
23．如图，已知：∠1与∠2互补，∠A＝∠D，求证：AB∥CD．
【分析】由对顶角相等得到一对角相等，根据已知一对角互补，得到同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到AF与ED平行，由两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，等量代换得到∠D与∠AED互补，利用同旁内角互补两直线平行即可得证．
【解答】证明：∵∠1＝∠CGD，∠1与∠2互补，
∴∠CGD+∠2＝180°，
∴AF∥ED，
∴∠A+∠AED＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠D+∠AED＝180°，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
24．如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．
（1）画出经过两次平移后的图形，并写出A1、B1、C1的坐标；
（2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P1的坐标为（﹣2，﹣2），请求出a，b的值；
（3）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可解决问题．
（2）利用平移规律，构建方程组即可解决问题．
（3）利用分割法求出三角形的面积即可．
解：（1）△A1B1C1．如图所示．A1（﹣4，﹣3），B1（2，﹣2），C1（﹣1，1）；
（2）平移后点P的对应点P1（a﹣3．b﹣4），
∵P1（﹣2，﹣2），
∴，
解得．
（3）S△ABC＝4×6﹣×6×1﹣×3×3﹣×4×3＝10.5．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积，属于中考常考题型．
25．【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
理由如下：
过点P作PQ∥AB．
∴∠BAP+∠APQ＝180°．
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD．
∴∠PCD+∠CPQ＝180°．
∴∠BAP+∠APC+∠PCD
＝∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD
＝180°+180°
＝360°．
【问题解决】
（1）如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系是　∠APC＝∠A+∠C　；（只写结论）
（2）如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并写出理由；
（3）如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE＝∠BAP，∠DCE＝∠DCP，可得∠AEC与∠APC间的等量关系是　∠APC+3∠AEC＝360°　（只写结论）
【分析】（1）如图②中，结论：∠APC＝∠A+∠C．作PE∥AB，利用平行线的性质证明即可．
（2）结论：∠APC＝2∠AEC．如图③中，设∠EAB＝∠EAP＝x，∠ECD＝∠ECP＝y．利用（1）中结论证明即可．
（3）结论：∠APC+3∠AEC＝360°，利用题目中的基本结论解决问题即可．
解：（1）如图②中，结论：∠APC＝∠A+∠C．
理由：作PE∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PE，
∴CD∥PE，
∴∠APE＝∠A，∠C，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠A+∠C．
故答案为∠APC＝∠A+∠C．
（2）结论：∠APC＝2∠AEC．
理由：如图③中，设∠EAB＝∠EAP＝x，∠ECD＝∠ECP＝y．
由（1）可知：∠AEC＝x+y，∠APC＝2x+2y，
∴∠APC＝2∠AEC．
（3）如图④中，设∠EAB＝x，∠DCE＝y，则∠BAP＝3x，∠DCP＝3y，
由题意：∠AEC＝x+y，∠APC+3x+3y＝360°，
∴∠APC+3∠AEC＝360°，
故答案为：∴∠APC+3∠AEC＝360°，
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是需要添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．