牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本试卷命题范围：选择性必修第二册（第五章），选择性必修第三册（第六章、第七章7.1~7.3）。
一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知随机变量的分布列是（ ）
1 2 3
则（ ）
A. B. C.1 D.
2.在第14届全国人民代表大会期间，某记者要去黑龙江省代表团、辽宁省代表团、山东省代表团、江苏省代表团采访，则不同的采访顺序有（ ）
A.4种 B.12种 C.18种 D.24种
3.已知函数，是的导函数，则（ ）
A. B.0 C.1 D.
4.的展开式中，常数项为（ ）
A.1365 B.3003 C.5005 D.6435
5.设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9，0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A.0.72 B.0.96 C.0.84 D.0.86
6.已知函数，则的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
7.函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知是可导的函数，且对于恒成立，则下列不等式关系正确的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知的分布列为（ ）
0 1
则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
10.若，，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，则实数的值可以是（ ）
A. B. C.0 D.2
12.已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数在处的切线与直线平行，则实数________.
14.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为________.
15.为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则________.
16.对于函数可以采用下列方法求导：由可得，两边求导可得，故，根据这一方法，可得函数的极小值为________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（10分）
霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉.2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会，将首次把霹雳舞列入比赛项目.2023年1月9日中国霹雳舞队正式成立.2月25日，中国女队员、17岁的刘清漪在霹雳舞首场积分赛中夺冠，为中国队赢得了开门红.藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法.
（1）男队员2名，女队员2名；
（2）至少有1名男队员.
18.（12分）
在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等.已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场.
（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；
（2）若胜场次数为，求的分布列.
19.（12分）
已知函数.
（1）若在处的切线过原点，求切线的方程；
（2）令，求证：.
20.（20分）
已知函数，其中.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.
21.（12分）
为了备战2024年法国巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会），中国射击队女子50米汽步枪（三姿）队员苗婉如、张琼月两名运动员展开队内对抗赛，比赛得分为两个相互独立的随机变量与，且，的分布列为：
1 2 3
0.1 0.6
1 2 3
0.3 0.3
（1）求，的值；
（2）计算，的期望与方差，并以此分析功婉茹、张琼月技术状况.
22.（12分）
已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数无零点，求实数的取值范围.
牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：，所以.
2.D 种.
3.B ，.
4.C 二项展开式的通项为，令，解得，所以常数项是.
5.D 设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘火车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地，
6.A 由题设，，又定义域为，令，则，解得，故，∴在上单调递减.
7.B ，当时，，要使函数在区间上不单调，则解得.
8.C 设，则，∵，∴，即在上单调递减，∴，即，即，故选项A不正确；，即，即，故选项D不正确；，即，即.故选B不正确.
9.ABD 由分布列的性质可知，即.∴，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选ABD.
10.BC ∵，，令，得，故A错误、B正确；令，得，故C正确，D错误.
11.AC 由，则，而，∴处的切线方程为，即，又与有一个公共点，∴，整理得.当时，，可得；当时，显然只有一个解，符合题设.∴或.
12.AD 设，，则，.因为对恒成立，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，，即，，即.故选AD.
13.2 ∵，∴，，又函数在处的切线与直线平行，∴.
14. 记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件，“他的车能够充电2500次”为事件，即求条件概率：.
15. 依题意知，的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续，则丁俊晖、赵心童在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有，，，故.
16. ∵，∴，∴，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为.
17.解：（1）第一步：选2名男队员，共有种选法；第二步：选2名女队员，共有种选法.结合分步计数原理得到共有（种）选法.…………………………………………………………5分
（2）“至少有1名男队员”的对立面为“全是女队员”.
从8名队员中任选4名，共有种选法，其中全是女队员的选法有种.
所以“至少有1个男队员”的选法有（种）.………………………………10分
18.解：（1）若胜一场，则其余为平，共有种情况；………………………………1分
若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有种情况；…………2分
若胜三场，则其余一场为负或平，共有种情况；…………………………3分
若胜四场，则只有1种情况.……………………………………………………4分
综上，共有种情况.……………………………………………………5分
（2）的可能取值为1，2，3，4，……………………………………………………6分
由（1）可得：，，，，……10分
所以的分布列为：
1 2 3 4
……………………………………………………………………………………………………………………12分
19.（1）解：∵，∴在处的切线的斜率为.
又在曲线上，在处的切线过原点，∴，.
∴切线的方程为.…………………………………………………………………………6分
（2）证明：∵，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴函数的最大值为，∴.………………………………12分
20.解：（1）依题意，函数的定义域为，
求导得：，因为函数在处取得极值，则有，
解得，此时，，
当时，，当时，，
因此函数在处取得极值，则，所以实数的值是2.…………………………5分
（2）因为，等价于，等价于.
令，，则.
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，，
故，所以实数的取值范围是.…………………………………………12分
21.解：（1）由离散型随机变量的分布的性质可知，∴.……………………2分
同理，.………………………………………………………………4分
（2），，……6分
，……………………8分
.……………………10分
由于，说明在一次射击中，苗婉茹的平均得分比张琼月高，但，说明苗婉茹得分的稳定性不如张琼月，因此苗婉茹、张琼月两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.………………12分
22.解：（1）当时，，定义域为，，
令，解得，…………………………………………………………1分
当时，，则函数在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递增，
∴函数在处取得极小值为，无极大值.…………………………3分
（2），定义域为，.
①当时，，此时函数无零点，符合要求，……………………5分
②当时，，∴函数在上单调递减，又且，∴函数有唯一一个零点，不符合要求，……………………………………7分
③当时，令，则，…………………………8分
当时，，则函数在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递增，
∴函数在处取得极小值也是最小值，
，…………………………10分
若函数没有零点，则需，
即，解得.………………………………11分
综上所述，若函数无零点，则实数的取值范围为.……………………12分